- Limite supérieure
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Limites inférieure et supérieure
En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Sommaire
Définitions
Si
est une suite bornée de réels, les suites définies par
et
sont respectivement décroissante et croissante. De plus, pour tout n,
.
Ce sont donc des suites convergentes, d'après le théorème de la limite monotone. On pose
et
.
Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite
.
Cette définition s'étend aux suites non nécessairement bornées, en posant
si la suite n'est pas majorée,
et
si la suite n'est pas minorée.
Exemples
- Pour une suite convergente, la limite supérieure et la limite inférieure sont toutes deux égales à la limite de la suite.
Propriétés
Posons pour alléger les notations
Soit
0\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/57/91a60c9a39bb2d9009e8e0d8d85f7348.png" border="0"> fixé. Alors
- il n'y a qu'un nombre fini de
tels que
L +\varepsilon\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/55/75b0c751cd259c5b0c3f2fddc5385164.png" border="0">.
En effet, la convergence vers
de la suite
montre que
pour
assez grand. Fixons un tel
. Pour
,
, donc si
L+\varepsilon\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/55/75b0c751cd259c5b0c3f2fddc5385164.png" border="0">, nécessairement
- il y a une infinité de
tels que
L -\varepsilon\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/100/d4f3a8dc20c1d10f78d0d72b1ef6aaf5.png" border="0">.
En effet, pour tout
,
. D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe
tel que
.
La limite inférieure satisfait a des propriétés analogues. Autrement dit,
et
sont respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs d'adhérence de la suite
. Notons au passage que l'existence de
et
pour une suite bornée fournit une preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass
Application : formule de Hadamard
La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence
d'une série entière
en termes d'une limite supérieure :
.
Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.
Généralisations
Nombres dérivés
D'une manière analogue, si
est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir
. Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés d'une fonction
. Ce sont les nombres
(attention : comme ci-dessus, ces limites peuvent valoir
Limites inférieure et supérieure d'une suite de parties d'un ensemble
On peut aussi définir
et
pour une suite
de parties d'un ensemble, en posant
et
On interprète
comme l'ensemble des
qui appartiennent à
pour une infinité d'indices
, et
comme l'ensemble des
qui appartiennent à tous les
à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de la loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.
Liens internes
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