Limite inférieure

Limites inférieure et supérieure

Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite x_n est représentée en bleu.

En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Exemples
2 Propriétés
3 Application : formule de Hadamard
4 Généralisations
- 4.1 Nombres dérivés
- 4.2 Limites inférieure et supérieure d'une suite de parties d'un ensemble
5 Liens internes

Définitions

Si $(u_n)_{n\ge 0}$ est une suite bornée de réels, les suites définies par

$v_n=\sup\{u_k, k\ge n\}\,$ et $w_n=\inf\{u_k, k\ge n\}\,$

sont respectivement décroissante et croissante. De plus, pour tout n,

$w_n\le u_n\le v_n\,$ .

Ce sont donc des suites convergentes, d'après le théorème de la limite monotone. On pose

$\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} v_n$ et $\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} w_n$ .

Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ .

Cette définition s'étend aux suites non nécessairement bornées, en posant

$\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\infty$ si la suite n'est pas majorée,

$\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=-\infty$ si la suite n'est pas minorée.

Exemples

Pour une suite convergente, la limite supérieure et la limite inférieure sont toutes deux égales à la limite de la suite.

$\limsup_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=-1$
$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\sin n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}\sin n =-1$

Propriétés

Posons pour alléger les notations $L=\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n, l=\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n$ Soit $\varepsilon>0\,$ fixé. Alors

il n'y a qu'un nombre fini de $k\,$ tels que $u_k> L +\varepsilon\,$ .

En effet, la convergence vers $L\,$ de la suite $(v_n)_{n\ge 0}$ montre que $L\le v_n\le L+\varepsilon \,$ pour $n\,$ assez grand. Fixons un tel $n\,$ . Pour $n\le k\,$ , $u_k\le v_n\le L+\varepsilon\,$ , donc si $u_k>L+\varepsilon\,$ , nécessairement $k<n\,$

il y a une infinité de $k\,$ tels que $u_k> L -\varepsilon\,$ .

En effet, pour tout $n\,$ , $L-\varepsilon <v_n\,$ . D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe $k\ge n\,$ tel que $L-\varepsilon <u_k$ .

La limite inférieure satisfait a des propriétés analogues. Autrement dit, $L\,$ et $l\,$ sont respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs d'adhérence de la suite $(u_n)_{n\ge 0}$ . Notons au passage que l'existence de $\limsup\,$ et $\liminf\,$ pour une suite bornée fournit une preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass

Application : formule de Hadamard

La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence $\scriptstyle \ R\$ d'une série entière $\scriptstyle \ \sum_{k=0}^{\infty}a_nz^n\$ en termes d'une limite supérieure :

$\frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right)$ .

Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.

Généralisations

Nombres dérivés

D'une manière analogue, si $\scriptstyle\ f:X\mapsto \R \$ est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir $\scriptstyle\ \limsup_{x\mapsto a}f(x)\$ . Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés d'une fonction $\scriptstyle\ f:\R\rightarrow \R\$ . Ce sont les nombres

$\begin{align} \limsup_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},&\qquad \liminf_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \\ \limsup_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a-h)-f(a)}{h},&\qquad \liminf_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}. \end{align}$

(attention : comme ci-dessus, ces limites peuvent valoir $\scriptstyle\ \pm \infty).$

Limites inférieure et supérieure d'une suite de parties d'un ensemble

On peut aussi définir $\scriptstyle\ \limsup\$ et $\scriptstyle\ \liminf\$ pour une suite $\scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\$ de parties d'un ensemble, en posant

$\limsup A_n =\cap_{n\ge 0}(\cup_{k\ge n} A_k),$

$\liminf A_n =\cup_{n\ge 0}(\cap_{k\ge n} A_k).$

On interprète $\scriptstyle\ \limsup A_n\$ comme l'ensemble des $\scriptstyle\ x\in E\$ qui appartiennent à $\scriptstyle\ A_n\$ pour une infinité d'indices $\scriptstyle\ n\$ , et $\scriptstyle\ \liminf A_n\$ comme l'ensemble des $\scriptstyle\ x\in E\$ qui appartiennent à tous les $\scriptstyle\ A_n\$ à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de la loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.

Liens internes

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Limites inf%C3%A9rieure et sup%C3%A9rieure ».

Catégories : Analyse réelle | Suite

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Limite inférieure de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

limite inférieure — apatinė riba statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. inferior limit; lower limit vok. untere Grenzwert, m; Untergrenze, f rus. нижний предел, m pranc. limite inférieure, f … Automatikos terminų žodynas
limite inférieure — apatinė riba statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inferior limit; lower limit vok. untere Grenze, f; unterer Grenzwert, m rus. нижний предел, m; нижняя граница, f pranc. limite inférieure, f … Fizikos terminų žodynas
Limite inférieure d'explosivité — Limite d explosivité Les limites d’explosivité d’un gaz ou d’une vapeur combustibles sont les concentrations limites du gaz (dans l’air) qui permettent que celui ci s’enflamme et explose. L’intervalle d’explosivité est caractérisé par la limite… … Wikipédia en Français
limite inférieure de mesure — apatinė matavimo riba statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. lower limit of measurement vok. untere Meßbereichsgrenze, f; untere Meßgrenze, f rus. нижний предел измерения, m pranc. limite inférieure de mesure, f … Fizikos terminų žodynas
limite inférieure de longueur d’onde — trumpabangė riba statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. short wavelength limit vok. kurzwellige Grenze, f rus. коротковолновая граница, f pranc. limite inférieure de longueur d’onde, f … Fizikos terminų žodynas
Limite de Oort — Limite d Oort Pour les articles homonymes, voir Oort. En astronomie, le terme de limite d Oort désigne l estimation de la masse volumique locale de la matière (étoiles comprises) dans le voisinage du Soleil. Le terme est nommé en l honneur de l… … Wikipédia en Français
Limite D'explosivité — Les limites d’explosivité d’un gaz ou d’une vapeur combustibles sont les concentrations limites du gaz (dans l’air) qui permettent que celui ci s’enflamme et explose. L’intervalle d’explosivité est caractérisé par la limite inférieure… … Wikipédia en Français
Limite d'explosivite — Limite d explosivité Les limites d’explosivité d’un gaz ou d’une vapeur combustibles sont les concentrations limites du gaz (dans l’air) qui permettent que celui ci s’enflamme et explose. L’intervalle d’explosivité est caractérisé par la limite… … Wikipédia en Français
Limite d'inflammabilité — Limite d explosivité Les limites d’explosivité d’un gaz ou d’une vapeur combustibles sont les concentrations limites du gaz (dans l’air) qui permettent que celui ci s’enflamme et explose. L’intervalle d’explosivité est caractérisé par la limite… … Wikipédia en Français
Limite d’explosivité — Limite d explosivité Les limites d’explosivité d’un gaz ou d’une vapeur combustibles sont les concentrations limites du gaz (dans l’air) qui permettent que celui ci s’enflamme et explose. L’intervalle d’explosivité est caractérisé par la limite… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Limite inférieure

Limites inférieure et supérieure

Sommaire