Limites inferieure et superieure

Limites inferieure et superieure

Limites inférieure et supérieure

Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite xn est représentée en bleu.

En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.

Sommaire

Définitions

Si (u_n)_{n\ge 0} est une suite bornée de réels, les suites définies par

v_n=\sup\{u_k, k\ge n\}\, et w_n=\inf\{u_k, k\ge n\}\,

sont respectivement décroissante et croissante. De plus, pour tout n,

w_n\le u_n\le v_n\,.

Ce sont donc des suites convergentes, d'après le théorème de la limite monotone. On pose

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} v_n et \liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} w_n.

Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite (u_n)_{n\ge 0}.

Cette définition s'étend aux suites non nécessairement bornées, en posant

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\infty si la suite n'est pas majorée,

et

\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=-\infty si la suite n'est pas minorée.

Exemples

  • Pour une suite convergente, la limite supérieure et la limite inférieure sont toutes deux égales à la limite de la suite.
  • \limsup_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=-1
  • \limsup_{n\rightarrow +\infty}\sin n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}\sin n =-1

Propriétés

Posons pour alléger les notations L=\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n, l=\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n Soit \varepsilon>0\, fixé. Alors

  • il n'y a qu'un nombre fini de k\, tels que u_k> L +\varepsilon\,.

En effet, la convergence vers L\, de la suite (v_n)_{n\ge 0} montre que L\le v_n\le L+\varepsilon \, pour n\, assez grand. Fixons un tel n\,. Pour n\le k\,, u_k\le v_n\le L+\varepsilon\,, donc si u_k>L+\varepsilon\,, nécessairement k<n\,

  • il y a une infinité de k\, tels que u_k> L -\varepsilon\,.

En effet, pour tout n\, , L-\varepsilon <v_n\,. D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe k\ge n\, tel que L-\varepsilon <u_k.

La limite inférieure satisfait a des propriétés analogues. Autrement dit, L\, et l\, sont respectivement la plus grande et la plus petite des valeurs d'adhérence de la suite (u_n)_{n\ge 0}. Notons au passage que l'existence de \limsup\, et \liminf\, pour une suite bornée fournit une preuve du théorème de Bolzano-Weierstrass

Application : formule de Hadamard

La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence \scriptstyle \ R\ d'une série entière \scriptstyle \ \sum_{k=0}^{\infty}a_nz^n\ en termes d'une limite supérieure :

\frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right).

Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.

Généralisations

Nombres dérivés

D'une manière analogue, si \scriptstyle\ f:X\mapsto \R \ est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir \scriptstyle\ \limsup_{x\mapsto a}f(x)\ . Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés d'une fonction \scriptstyle\ f:\R\rightarrow \R\ . Ce sont les nombres

\begin{align} \limsup_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},&\qquad \liminf_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \\ \limsup_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a-h)-f(a)}{h},&\qquad \liminf_{h\mapsto 0^+}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}. \end{align}

(attention : comme ci-dessus, ces limites peuvent valoir \scriptstyle\ \pm \infty).

Limites inférieure et supérieure d'une suite de parties d'un ensemble

On peut aussi définir \scriptstyle\ \limsup\ et \scriptstyle\ \liminf\ pour une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\ de parties d'un ensemble, en posant

\limsup A_n =\cap_{n\ge 0}(\cup_{k\ge n} A_k),

et

\liminf A_n =\cup_{n\ge 0}(\cap_{k\ge n} A_k).

On interprète \scriptstyle\ \limsup A_n\ comme l'ensemble des \scriptstyle\ x\in E\ qui appartiennent à \scriptstyle\ A_n\ pour une infinité d'indices \scriptstyle\ n\ , et \scriptstyle\ \liminf A_n\ comme l'ensemble des \scriptstyle\ x\in E\ qui appartiennent à tous les \scriptstyle\ A_n\ à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de la loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.

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