Integration d'une forme differentielle

Forme différentielle

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En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité. Le degré des formes différentielles désigne le degré des applications multilinéaires. La différentielle d'une fonction peut être regardée comme un champ de formes linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles. Au-delà de cet exemple, non seulement les formes différentielles interviennent naturellement dans les problèmes de géométrie différentielle, mais elles permettent de définir des structures importantes, comme les formes volumes, les formes symplectiques, les formes de contact ou encore les connexions.

La manipulation des formes différentielles fait intervenir un certain nombre d'opérations, dont le produit extérieur, le produit intérieur, la dérivée extérieure et la dérivée de Lie. En particulier, le produit extérieur permet de distinguer les formes fermées et les formes exactes. Cette distinction permet dans un second temps de définir les espaces de cohomologie de De Rham.

Les problèmes de régularité ne sont pas abordés dans cet article. On fera donc implicitement l'hypothèse que les fonctions introduites sont de classe $C^\infty$ .

Sommaire

1 Définitions
2 Opérations sur les formes différentielles
3 Expression locale
4 Intégration des formes
5 Références
6 Voir aussi

Définitions

Forme différentielle de degré un

Article détaillé : Forme différentielle de degré un.

Les formes différentielles de degré 1 – ou 1-formes – sont des champs de formes linéaires sur une variété différentielle. Dit autrement, on se donne une forme linéaire en chaque espace tangent $T x M$ avec une dépendance régulière en $x$ . La dépendance en $x$ peut facilement être précisée par l'expression dans des cartes locales. On les appelle parfois covecteurs ou champs de covecteurs ; ces outils ont des propriétés analogues aux champs de vecteurs. Il existe en réalité une correspondance biunivoque une fois introduite par exemple une métrique riemannienne. Si $f$ est une fonction réelle différentiable, sa différentielle $d f$ est une 1-forme différentielle (dite exacte) qui en chaque point $x$ vaut la forme linéaire $d f (x)$ . Localement, les 1-formes différentielles s'expriment comme combinaisons de différentielles de fonctions.

Plus exactement, le dual de l'espace vectoriel réel $\R^n$ est un espace vectoriel de dimension $n$ . Si $(x 1,..., x n)$ désigne les coordonnées dans $\R ^n$ , alors on note $d x i$ l'application $i$ -ème coordonnée. Les formes linéaires sur $\R^n$ s'expriment comme des combinaisons à coefficients réels des formes linéaires $d x 1,...,d x n$ . Les 1-formes différentielles s'expriment alors comme des combinaisons des $d x 1,...,d x n$ dont les coefficients dépendent de manière $C^{\infty}$ du point de base :

$\lambda_x=f_1(x)\cdot\mathrm dx_1+\dots+f_n(x)\cdot\mathrm dx_n$ .

Sur une variété différentielle $M$ , une 1-forme différentielle s'exprime localement comme ci-dessus dans les cartes locales. L'exemple le plus simple est la différentielle d'une fonction numérique $f$ sur un ouvert de l'espace euclidien $\R^n$ : au point $a$ , la différentielle est une forme linéaire sur $\R^n$ notée sous la forme :

$\mathrm d_a f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm d x_i$ .

Si $X$ est un champ de vecteurs sur $M$ et $λ$ est une 1-forme différentielle, alors $λ(X)$ est une fonction différentiable sur $M$ ; cette fonction dépend linéairement en $X$ . Cela permet de regarder une 1-forme différentielle comme une forme linéaire sur le module des champs de vecteurs sur $M$ .

Définition comme forme multilinéaire

Les formes différentielles se définissent comme une extension en géométrie différentielle des formes multilinéaires alternées recontrées en algèbre linéaire. Sur un module $E$ de dimension $n$ , une application multilinéaire $\varphi:E^k\rightarrow R$ (de degré $k$ ) est dite alternée lorsque, pour toute permutation $σ$ de $[1, r]$ , et pour tous vecteurs $(v 1,..., v r)$ , on a :

$\varphi(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(r)}) = \varepsilon(\sigma)\cdot\varphi(v_1,\dots,v_r)$ .

Pour une variété différentielle $M$ , l'ensemble des champs de vecteurs sur $M$ de classe $C^{\infty}$ est un module $X (M)$ sur l'algèbre $C^{\infty}(M)$ des fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $M$ . Une forme différentielle de degré $k$ sur $M$ est une application multilinéaire alternée de degré $k$ sur le module $X (M)$ .

Une forme différentielle $ω$ de degré $k$ associe donc à une famille de $k$ vecteurs $(X 1,... X k)$ une fonction $ω(X 1,..., X k)$ . La multilinéarité de par rapport à $C^{\infty}(M)$ implique que la valeur en $x$ de cette fonction ne dépend que des vecteurs $X 1 (x),..., X k (x)$ . On peut donc donner un sens à la notation $ω(v 1,..., v k)$ pour des vecteurs tangents $v 1,..., v k$ en $x$ . Autrement dit, $ω$ peut être vue comme la donnée en chaque point $x$ de $M$ d'une application multilinéaire alternée $ω x$ de degré $k$ sur l'espace tangent $T x M$ .

Une forme différentielle de degré $k$ peut donc se redéfinir de manière équivalente comme un champ d'applications multilinéaires alternées de degré $k$ sur les espaces tangents $T x M$ avec une dépendance régulière en $x$ : pour tous champs de vecteurs $X 1,..., X k$ , la fonction $x\mapsto \omega_x(X_1(x),\dots,X_k(x))$ est de classe $C^{\infty}$ .

De même que pour les 1-formes différentielles, il est possible de donner l'expression locale des formes différentielles de degré $k$ , à condition de définir au préalable le wedge produit.

Définition comme section d'un fibré

L'ensemble des applications multilinéaires alternées sur $T x M$ forme un espace vectoriel noté $\Lambda^kT^*_xM$ . L'ensemble de ces espaces forme ce qu'on appelle un fibré vectoriel sur $M$ , noté $Λ T * M$ , formellement la $k$ -ième puissance du fibré cotangent de $M$ . Une forme différentielle de degré $k$ peut se redéfinir comme une section globale de ce fibré vectoriel.

Cette approche permet non seulement de donner une meilleure signification à la régularité de la forme différentielle, mais permet aussi d'étendre la définition des formes différentielles. Si $E$ est un fibré vectoriel sur $M$ , une forme différentielle de degré $k$ à valeurs de $E$ est une section globale du produit tensoriel $\Lambda^kT^*M\otimes E$ . C'est donc un champ d'applications muiltilinéaires alternées à valeurs dans les fibres de $E$ . De telles formes peuvent aussi être définies comme des applications multilinéaires alternées du module $X (M)$ dans le module des sections globales de $E$ .

Opérations sur les formes différentielles

La manipulation des formes différentielles en pratique exige un ensemble d'opérations élémentaires. Certaines sont purement algébriques et se définissent en réalité pour toutes applications multilinéaires alternées. D'autres sont propres à la topologie différentielle et aux formes différentielles.

Opérations algébriques

Par définition, l'ensemble des formes différentielles (réelles) de degré $k$ sur une variété différentielle $M$ forme un module $Ω k (M)$ sur $C^{\infty}(M)$ . En particulier, les formes différentielles de degré $k$ s'additionnent ou peuvent être multipliées par des fonctions réelles :

$(\alpha+\beta)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_x(v_1,\dots,v_k)+\beta_x(v_1,\dots,v_k)$ ; $(f\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=f(x)\cdot\alpha_x(v_1,\dots,v_k)$ .

Produit intérieur: Le produit intérieur se définit en algèbre linéaire, définition qui s'étend naturellement aux formes différentielles. Si $X$ est un champ de vecteurs et $α$ une forme différentiuelle de dimension $k$ , on définit une forme différentielle de degré $k - 1$ , par : $(\iota(X)\alpha)_x(v_2,\dots,v_k)=\alpha_x(X(x),v_2,\dots,v_k)$ .
Produit extérieur: Le produit extérieur de deux formes différentielles $α$ et $β$ de degrés respectifs $k$ et $q$ se définit comme suit : $(\alpha\wedge \beta)_x(v_1,\dots,v_{k+q})=\frac{1}{k!q!}\sum \varepsilon(\sigma)\cdot \alpha_x(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)})\cdot \beta_x (v_{\sigma(k+1)}, \dots, v_{\sigma(k+q)})$ , où $\varepsilon(\sigma)$ désigne la signature de la permutation $σ$ et la somme porte sur toutes les permutations $σ$ de $[1, k + q]$ croissantes sur les $k$ premiers entiers et croissante sur les $q$ derniers. Le résultat est une forme de degré $k + q$ .

Ces opérations munissent $\Omega(M)=\oplus \Omega^k(M)$ d'une structure d'algèbre graduée commutative. Ici, commutatif signifie que pour toutes formes différentielles $α$ et $β$ de degrés respectifs $k$ et $q$ , on a :

$\alpha\wedge \beta=(-1)^{kq}\beta\wedge\alpha$ .

Tiré en arrière (pullback): Si $f:M\rightarrow N$ est un difféomorphisme local, et si $α$ est une forme différentielle de degré $k$ sur $N$ , on définit $f * α$ comme une forme différentielle de degré $k$ sur $M$ par :

$(f^*\alpha)_x(v_1,\dots,v_k)=\alpha_{f(x)}(\mathrm df_x(v_1),\dots,\mathrm df_x(v_k))$ .

L'application $f^*:\Omega(N)\rightarrow \Omega(M)$ définit un morphisme d'algèbre graduée.

Dérivée extérieure

Article détaillé : Dérivée extérieure.

Dérivée de Lie

Article détaillé : Dérivée de Lie.

Une 0-forme différentielle est une fonction différentiable $f$ ; considérer sa dérivée selon un champ de vecteurs $X$ consiste à introduire la fonction $d f (X)$ . La dérivée de Lie d'une forme différentielle $α$ de degré $k$ selon un champ de vecteurs $X$ est une forme différentielle de degré $k$ notée $\mathcal{L}_X\alpha$ définie par :

$\mathcal{L}_X\alpha=\mathrm d\iota_X\alpha+\iota_Xd\alpha$

Expression locale

Intégration des formes

Article détaillé : intégration d'une forme différentielle.

Les formes différentielles de degré $k$ sont intégrées sur des chaînes de dimension $k$ . Si $k$ est nul, alors il s'agit d'une évaluation des fonctions aux points considérés. D'autres valeurs de $k$ , avec $k > 0$ , correspondent aux intégrales curvilignes, de surface, de volume, etc.

Soit

$\omega=\sum a_{i_1,\cdots,i_k}({\mathbf x})\,\mathrm dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge \mathrm dx_{i_k}$

une forme différentielle et $S$ l'ensemble d'intégration paramétrisé par :

$S({\mathbf u})=(x_1({\mathbf u}),\cdots,x_n({\mathbf u}))$

avec $u$ un paramètre dans le domaine $D$ . Alors [Rudin, 1976] définit l'intégrale de la forme différentielle sur $S$ par :

$\int_S \omega =\int_D \sum a_{i_1,\cdots,i_k}(S({\mathbf u})) \frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}\,\mathrm d{\mathbf u}$

où

$\frac{\partial(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\cdots,u_{k})}$

est le déterminant jacobien.

Références

(en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York McGraw-Hill, Inc., 1976, (ISBN 007054235X)
(en) Michael Spivak, W. A. Benjamin, Calculus on Manifolds, Inc., 1965, (ISBN 0805390219)
(en) Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis II, Springer, 2004 (ISBN 3540406336)

Voir aussi

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