Harmoniques

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En musique, une harmonique est une composante à part entière d’un son musical. Il s’agit d’une fréquence multiple de la fréquence fondamentale.

Physique

Une harmonique est l’élément de décomposition primaire d’une fonction périodique exprimé dans la base de Hilbert.

En d’autres termes, une harmonique correspond à une fonction trigonométrique sinusoïdale (sinus ou cosinus) dont la fréquence est un multiple de la fréquence de la fonction périodique décomposée. La somme de toutes les harmoniques d’une fonction périodique reconstitue la fonction.

Comme un signal périodique peut se décomposer en une somme de sinus et cosinus dont les fréquences sont des multiples de la fréquence du signal (dite fréquence fondamentale), le « poids » de certaines harmoniques dans la décomposition spectrale d’un son correspond au module de leur coefficient harmonique dans le plan complexe.

Le son le plus simple acoustiquement parlant n’a qu’une harmonique, la fréquence fondamentale, les autres harmoniques ayant un module nul. C’est donc une sinusoïde, dont la phase dépend de la répartition entre la partie réelle (cosinus) et imaginaire (sinus) de l’harmonique, autrement dit de son argument complexe.

Article lié : Série de Fourier

Musique

Caractéristique physique du son

Un son est une onde caractérisée physiquement par sa fréquence de vibration ; elle se mesure en Hertz (en nombre de vibrations par seconde). Par exemple, le « la3 » (ou A4) possède une fréquence de 440 Hz. Plus la fréquence est élevée, plus le son est aigu.

À hauteurs (donc fréquences) identiques, les sons émis par deux instruments différents (par exemple un violon et une flûte) ne résonnent pas de la même manière. Chacun se caractérise par ce qu’on appelle son timbre qui permet de l’identifier, traduction du fait qu’aucun son naturel n’est réellement simple : il résulte de la combinaison d’un son principal, ou fondamental, qui fixe la fréquence perçue par l’oreille et d’un grand nombre de ses harmoniques dont les pondérations relatives déterminent, précisément, son timbre.

Trois premiers modes de vibration d’une corde : fondamentale (haut) et deux premières harmoniques

Toute fonction mathématique périodique, et notamment celle qui correspond à une vibration sonore, peut être décomposée en une somme de fonctions sinusoïdales élémentaires dont les périodes plus courtes, (et donc les fréquences plus hautes) sont en rapport algébrique rationnel avec sa propre période (décomposition en « série de Fourier »).

En acoustique, on va donc distinguer les sons simples correspondant à une fonction sinusoïdale simple et les sons musicaux, comprenant un son fondamental et des harmoniques, dont les rapports de fréquence avec la fondamentale sont des quotients de nombres entiers.

Exemple : Un son non sinusoïdal dont la fréquence du son fondamental est de 100 Hz aura pour…

• harmonique de rang 2 … un son simple de 200 Hz,
• harmonique de rang 3 … un son simple de 300 Hz,
• harmonique de rang 4 … un son simple de 400 Hz,
• harmonique de rang 5 … un son simple de 500 Hz,
• etc.

Les harmoniques

La musique, intimement liée à la notion de consonance, s’est élaborée au cours du temps à partir de la décomposition d’un son en harmoniques. Une onde sonore de hauteur constante est composée d’une superposition de sons élémentaires nommés harmoniques dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale ƒ₀ : ƒ₀, 2ƒ₀, 3ƒ₀, 4ƒ₀, 5ƒ₀... Le son produit par un instrument à vent contient de nombreuses harmoniques naturelles, alors que certains instruments comme les percussions émettent des fréquences inharmoniques (2,576ƒ₀, 5,404ƒ₀... par exemple pour un triangle). On dit du son de ces instruments qu’ils ne contiennent que des partiels. Le spectre harmonique révèle ainsi l’ensemble des fréquences qui déterminent le timbre de chaque instrument.

Chaque harmonique possède une intensité relative par rapport aux autres. C’est le rapport d’amplitude entre ses différentes harmoniques qui fait que, par exemple, un violon n’a pas le même timbre qu’une flûte émettant un son de même hauteur (c’est-à-dire de même fréquence fondamentale).

En fait, lorsqu’on parle de fréquence fondamentale, on parle de la fréquence de la première harmonique du son considéré, que l’on désigne comme harmonique 0 ou harmonique fondamentale. En pratique, la note que l’on entend est tout simplement l’harmonique qui a la plus grande intensité et c’est souvent la plus grave. Certains sons peuvent cependant tromper l’oreille, une harmonique aiguë pouvant s’entendre plus que la fondamentale et la cacher.

En regardant attentivement le tableau des fréquences de notes ci-dessous, les musiciens trouveront une correspondance entre les fréquences harmoniques d’une note et les notes qui s’accordent harmonieusement avec la fondamentale. On sait par exemple que pour la note do, les notes constituant des intervalles naturels avec elle sont mi (la tierce), sol (la quinte), si (la septième), do (l’octave), ré (la neuvième), etc.

Les harmoniques d’une note sont données par les fréquences multiples de la fondamentale. Ainsi pour un do à 32,7 Hz les harmoniques sont :

N.B. : les 7^e et 11^e harmoniques ne correspondent pas à des notes utilisées en musique occidentale, elles sont en dehors du cycle des quintes. Le nom indiqué est celui de la note la plus proche (en gamme tempérée).

L’image ci-dessous indique les notes harmoniques d’un do grave, et précisent par les flèches et les chiffres (en cents), l’écart de hauteur entre chacune des 15 harmoniques et la note la plus proche dans le tempérament égal. Rapellons que le demi-ton (du tempérament égal) fait 100 cents ; une déviation de 49 cents est donc à mi-chemin entre deux notes existantes : c’est un quart de ton !

Quelques applications des harmoniques :

• Sur un piano, enfoncer doucement la pédale et faire résonner une note, permet de les écouter lorsque l’intensité sonore diminue : les cordes correspondant aux harmoniques vibrent par sympathie ; la série indiquée ci-dessus est alors relativement audible.
• C’est le bon ajustement entre elles des harmoniques de deux notes entendues simultanément qui validera la consonance de l’intervalle ou de l’accord entendu. On retrouve bien les raisons pour lesquelles un accord est parfait (do-mi-sol = 4-5-6) : les harmoniques des notes de l’accord sont en concordance avec les harmoniques de la fondamentale.
• Sur les instruments à cordes, on peut faire entendre un son harmonique en effleurant d’un doigt une division entière de la corde. Ci-dessous, les divisions correspondant à la fondamentale F (corde à vide) et aux trois premiers harmoniques, et la façon de noter une note ainsi jouée.

Exemple

En prenant comme note fondamentale le « la3 » (440 Hz) du piano, les harmoniques sont toutes les notes ayant pour fréquence un multiple de 440. Les harmoniques d’une note sont donc forcément plus aiguës que cette note, contrairement à la théorie des harmoniques inférieures qui fut un temps avancée.

Compléments

Articles connexes

• Introduction à la justesse en musique
• Fréquence fondamentale
• Gamme naturelle
• Partiel
• Son (physique)
• Acoustique musicale
• Spectre harmonique
• Série de Fourier
• Jeux de mutations à l’orgue
• Justesse des tierces
• Harmonique artificielle

Liens externes

• (fr) Apprendre les harmoniques à la guitare à l’aide de vidéos

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