Harmoniques circulaires

Harmoniques circulaires: Harmonique sphérique

En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières. À titre de rappel, une fonction est dite harmonique lorsque son laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques $P (x, y, z)$ de degré $l$ forment un espace vectoriel de dimension $2 l + 1$ , et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques $( r,\theta,\varphi )$ à l'aide de $2 l + 1$ combinaisons :
$r^l \cdot Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ ,
avec $- l \le m \le + l$ .

Les coordonnées sphériques $( r,\theta,\varphi )$ sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité $S 2$ .

Définition — Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal $S O (3)$ ) et que le laplacien entre en jeu :

en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs)

en théorie du potentiel newtonien (électrostatique, mécanique), gravimétrie ...

en géophysique (représentation du globe terrestre, en météorologie)

en cristallographie pour la texture,

en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique, description des orbitales atomiques de l'atome d'hydrogène)

etc.

Sommaire

1 Résolution de l'équation de Laplace

1.1 Expression des harmoniques sphériques

1.2 Expression mathématique

1.3 Polynômes de Legendre

2 Harmoniques sphériques normalisées

2.1 Base orthonormale des harmoniques sphériques

2.2 Normalisation

2.3 Expression des harmoniques sphériques normalisées

3 Représentations graphiques

3.1 Représentation sphérique

3.2 Représentation en coupe

3.3 Représentation cartésienne et polaire

4 Autres harmoniques

4.1 Harmoniques circulaires

4.2 Harmoniques sphériques généralisées

5 Voir aussi

5.1 Liens internes

5.2 Liens externes

5.3 Bibliographie

5.4 Notes et références

Résolution de l'équation de Laplace

On cherche les fonctions $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :
$Y_{l,m}(\theta, \varphi) = k P_{l,m}(\cos \theta) \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi}$
où $k$ est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction $P l, m (cosθ)$ :
$- \frac{1}{\sin \theta } \frac{\mathrm d ~}{\mathrm d \theta} \left(\sin \theta \frac{\mathrm d P_{l,m}(\cos \theta)}{\mathrm d \theta}\right) + \frac{m^2}{\sin^2 \theta } P_{l,m}(\cos \theta) = E_{l,m} P_{l,m}(\cos \theta)$
On fait le changement de variable : $\theta \mapsto x = \cos \theta$ qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :
$- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l,m}(x)}{\mathrm dx}\right] + \frac{m^2}{(1-x^2) } P_{l,m}(x) = E_{l,m} P_{l,m}(x)$
Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de $m$ :
$E_{l,m} = l (l+1)~$
Les fonctions propres $P l, m (x)$ se construisent à partir des polynômes de Legendre $P l (x)$ qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas $m = 0$ :
$- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l}(x)}{\mathrm dx}\right] = l (l+1) P_{l}(x)$
On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues :
$P_{l}(x) = \frac{1}{2^l l !} \frac{\mathrm d^l ~}{\mathrm dx^l} \left[ x^2 - 1 \right]^l$
On construit alors les fonctions propres $P l, m (x)$ par la formule :
$P_{l,m}(x) = (-1)^m \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^m P_{l}(x)}{\mathrm dx^m}$
soit explicitement :
$P_{l,m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^l l !} \left[ 1 - x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^{l+m} ~}{\mathrm dx^{l+m}} \left[ x^2 - 1 \right]^l$
Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions $P l, m (x)$ pour $m \ge 0$ , car il existe une relation simple entre $P l, m (x)$ et $P l, - m (x)$ :
$P_{l,- \, m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} P_{l,m}(x)$

Expression des harmoniques sphériques

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :
$Y_{l,0} = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}$ ,
où $P l (x)$ est le polynôme de Legendre de degré $l$ .

On obtient ensuite :
$J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(l^2-m^2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}$
où
$J_+ = e^{i\phi}\left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{i}{\tan \theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}\right)$
est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour $m$ négatif, $Y_{l,m} = (-1)^m.Y_{l, -m}^*$

Note : on pourra soi-même intuiter l'existence d'un opérateur d'échelle descendante, et vérifier la cohérence des résultats obtenus.

Souvent cette base se note $|lm\rangle$ :

toute fonction sur la sphère $S 2$ pourra donc s'écrire :
$f(\theta, \phi) = f^{l,m}\cdot |lm\rangle$
(en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes $f (l, m)$ jouant le rôle de composantes de $f$ dans la base des $|lm\rangle$ (on dit parfois coefficients de fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de fourier réels.

Expression mathématique

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue $f(\theta, \varphi)$ se décompose en une série d'harmoniques sphériques :
$f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)$
où $l$ et $m$ sont des indices entiers, $C l m$ est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

$Y l m$ est la partie réelle d'une fonction complexe $Y l m$
$Y_l^m(\theta , \varphi) = \operatorname{Re} \left ( \underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) \right )$
$Y l m$ est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par
$\underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \varphi}$
où $i$ est l'imaginaire et $P l m$ est le polynôme de Legendre :
$P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot \frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 - 1)^l \right ]$
On a donc
$Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)$
On a par exemple :

$P_0^0(\cos \theta) = 1$ ( $Y 00$ est isotrope) ;

$P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta$ ;

$P_1^1(\cos \theta) = - \sin \theta$ ;

$P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1)$ ;

Les fonctions $Y l m (θ, φ)$ présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que $l$ croît (sauf lorsque $l = 0$ , puisque $Y 00$ est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Polynômes de Legendre

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes $P l$ de la fonction cosinus :
$Y l (θ) = P l (cosθ)$
Les polynômes $P l$ utilisés sont les polynômes de Legendre¹ :
$P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{d^l}{d X^l}\left [ (X^2 - 1)^l \right ]$ (formule de Rodrigues, mathématicien suisse)
On obtient :

$P_0(\cos \theta) = 1~$ (fonction isotrope) ;

$P_1(\cos \theta) = \cos \theta~$ ;

$P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)$ ;

$P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2} (5 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta)$ ;

Harmoniques sphériques normalisées

Base orthonormale des harmoniques sphériques

Parmi les $(2 l + 1)$ fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthomormale sur la sphère $S 2$ munie de la mesure
$\mathrm d\mu = \frac{1}{4\pi} \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi$ ,
soit le produit scalaire (hermitien en fait) :
$\langle f_1\mid f_2\rangle = \frac{1}{4\pi} \iint_{S^2} f_1^{*} f_2 \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\phi$
Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres ^[1] :
$- \Delta Y_{l,m}(\theta, \varphi) = l(l+1) Y_{l,m}(\theta, \varphi)$
où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, $J 2$ :
$\Delta f(\theta, \varphi) \stackrel{\rm def}{=} J^2 f = \frac{1}{\sin \theta } \frac{\partial ~}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2 \theta } \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}$
Elles sont fonctions propres de l'opérateur $J_3 = -i \tfrac{\partial}{\partial \phi}$ :
$J_3 Y_{l,m} = m \cdot Y_{l,m}$
Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement $Y_{l,m}(\theta, \varphi)$ , où les angles $(\theta, \varphi)$ sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et $l$ et $m$ sont deux nombres entiers tels que :

$0 \le l$

$- l \le m \le + l$

Normalisation

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité $S 2$ au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :
$\iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l',m'}(\theta, \varphi) Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \delta_{l, l'} \delta_{m, m'}$
Dans cette formule, $\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)$ représente l'angle solide élémentaire :
$\mathrm d\Omega(\theta, \varphi)= \sin \theta \mathrm d\theta \mathrm d\varphi$
Toute fonction $f(\theta, \varphi)$ suffisamment régulière admet un développement en série :
$f(\theta, \varphi) = \sum_{l=0}^{+ \infty} \sum_{m=-l}^{+l} a_{l,m} Y_{l,m}(\theta, \varphi)$
où les coefficients complexes $a l, m$ se calculent par :
$a_{l,m} = \iint_{S_2} \mathrm d\Omega(\theta, \varphi) \overline{Y}_{l,m}(\theta, \varphi) f(\theta, \varphi)$
Expression des harmoniques sphériques normalisées

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S₃. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :
$Y_{l,m}(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} P_{l,|m|}(\cos \theta) \mathrm{e}^{i \, m \, \varphi}$

Représentations graphiques

Représentation sphérique

Si l'on utilise la représentation sphérique
$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_l^m (\theta,\varphi)$
alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où $Y l m$ est positif, les creux aux parties où $Y l m$ est négatif. Lorsque $θ$ et $\varphi$ décrivent l'intervalle $[0;2π[$ , $Y l m (θ, φ)$ s'annule selon $l$ cercles :

$m$ cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant $O z$ et la sphère) ;

$l - m$ cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à $O x y$ et la sphère).

Le paramètre $l$ est appelé le « degré », $m$ est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Nous représentons ci-dessous quatre coupes de l'harmonique sphérique $Y 32$ :

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

$Y_3^2$

$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)$
les parties en blanc sont positives, en bleu négatives $\rho = |Y_3^2(\theta,\varphi)|^2$

Représentation en coupe

Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les noeuds, comme le montre le tableau suivant^[2]. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où $l = 3$ . Les quatre valeurs de $m$ y varient de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour $m > 0$ . Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

On reconnaît les nombres quantiques secondaire $l$ , correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal $n$ n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire $exp(i m φ)$ , de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de $l \ge 4$ ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de $l$ est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par par un anneau^[3].

Représentation cartésienne et polaire

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

en coordonnées cartésiennes : $y = Y l (θ)$ ;

en coordonnées polaires : $r = r 0 + r 1 . Y l (θ)$
avec $r 1 < r 0$ , utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre $O$ et de rayon $r 0$ lorsque la fonction s'annule ;

en coordonnées polaires : $r = | Y l (θ) | 2$
utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.

Trois premières harmoniques circulaires
Représentation cartésienne Représentations polaires (tracé manuel) Représentations polaires (tracé exact)

$Y$ ₁

$Y$ ₂

$Y$ ₃

Autres harmoniques

Harmoniques circulaires

Dans le plan, la décomposition s'écrit :
$f(\theta) = \sum_{l = 0}^{+\infty} C_l \cdot Y_l (\theta)$
$Y 0$ est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires $r = Y 0 (θ)$ est donc un cercle de rayon $r 0$ .

$Y l$ est une fonction invariante par une rotation d'un angle de $1 / (l + 1)$ tour, c'est-à-dire que
$Y_l \left (\theta + \frac{2 \pi}{l+1}\right ) = Y_l (\theta)$
on dit que $Y l$ admet une symétrie d'ordre $l + 1$ .

Harmoniques sphériques généralisées

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler $(ψ, θ, φ)$ .

Considérons une fonction continue de l'orientation $ƒ(ψ, θ, φ)$ ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées
$f(\psi,\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} \sum_{n = -l}^{+l} C_l^{mn} \cdot Y_l^{mn} (\psi,\theta,\varphi)$
où $C l mn$ est une constante. La fonction $Y l mn$ s'écrit :
$Y_l^{mn}(\psi,\theta,\varphi) = e^{i m \varphi} \cdot P_l^{mn}( \cos \theta) \cdot e^{i n \psi}$
Le polynôme $P l mn$ est le polynôme de Legendre généralisé
$P_l^{m n} (X) = \frac{(-1)^{l-m} \cdot i^{n-m}}{2^l \cdot (l-m)!} \cdot \left [ \frac{(l-m)! (l+n)!}{(l+m)! (l-n)!} \right ]^{1/2} \cdot (1-X)^{-\frac{n-m}{2}}$ $\cdot (1+X)^{-\frac{n+m}{2}} \cdot \frac{\partial^{l-n}}{\partial X^{l-n}} \left [ (1-X)^{l-m} (1+X)^{l+m} \right ]$
Quand $X$ décrit l'intervalle $[ - 1;1]$ , cette fonction $P l mn$ est soit réelle, soit imaginaire pure. $Y 000 (ψ, θ, φ)$ est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :
$Y_l^{mn}(\psi_1 + \psi_2, \theta_1 + \theta_2, \varphi_1 + \varphi_2) = \sum_{s = -l}^{+l} Y_l^{ms}(\psi_1, \theta_1, \varphi_1) \cdot Y_l^{sn}(\psi_2, \theta_2, \varphi_2)$
et en particulier
$P_l^{mn}(\cos (\theta_1 + \theta_2)) = \sum_{s = -l}^{+l} P_l^{ms}(\cos \theta_1) \cdot P_l^{sn}(\cos \theta_2)$
On a de manière générale :
$P_l^{mn} = P_l^{nm} = P_l^{-m -n}$
Par exemple pour $l = 1$ :

$P_1^{mn}(\cos \theta)$
$m$ $n$

-1 0 +1

-1 $\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$ $-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$ $\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$

0 $-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$ $cosθ$ $-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$

1 $\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$ $-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$ $\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$

Pour $l = 2$ :

$P_2^{mn}(\cos \theta)$
$m$ $n$

-2 -1 0 +1 +2

-2 $\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$ $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$ $-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$ $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$ $\frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2$

-1 $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$ $\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)$ $-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$ $\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)$ $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$

0 $-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$ $-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$ $\frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)$ $-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$ $-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$

1 $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$ $\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)$ $-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$ $\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)$ $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$

2 $\frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2$ $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$ $-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$ $-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$ $\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$

Voir aussi

Liens internes

Atome

Mécanique quantique

Atome d'hydrogène

Orbitale atomique, orbitale moléculaire

Opérateur laplacien

Polynôme de Legendre

Géoïde

Ambisonie

Liens externes

Champs géophysiques, $C$ . Vigny, cours de l'École normale supérieure

La prévision numérique avec le modèle ARPEGE sur le site de Météo-France rubrique Comprendre la météo > Dossiers thématiques > La prévision numérique

Simulateur d'harmoniques sphériques (programme JavaScript), site de l'École polytechnique (X), Palaiseau, France

Spherical Harmonic, du site [http ://mathworld.wolfram.com/ Eric Weisstein's World of Mathematics]

Oscillations propres de la Terre lors d'un séisme, une des applications des harmoniques sphériques (images gif animées) ;

Représentations 3D de fonctions d'orientation

Bibliographie

I.S. Gradshteyn & I.M. Ryzhik ; Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger (eds.), Academic Press (6^e édition — 2000), ISBN 0-12-294757-6. Errata sur le site web des éditeurs : [http ://www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com]

John D. Jackson ; Électrodynamique classique — Cours et exercices d'électromagnétisme, Dunod (2001), ISBN 2-10-004411-7. Traduction française de la 3^e édition du grand classique américain.

J. L. Basdevant, J. Dalibard, Mécanique quantique [détail des éditions]

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]

Albert Messiah, Mécanique quantique [détail des éditions]

H.-J. Bunge, Texture analysis in materials science — Mathematical methods, éd. Butterworths, 1969 (1982 pour la trad. en anglais) : pour les harmoniques sphériques généralisées.

Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries : Groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, Les Éditions de l'École Polytechnique, Juillet 2006 ; chapitre 7, Les harmoniques sphériques ; ISBN 273021257-4.

Notes et références

↑ On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres positives. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction $\phi~$ lisse à support compact, on a : $\int \phi \Delta \phi = - \int \| \mathrm{grad} \phi \|^2$ Cette égalité se démontre en utilisant la relation $Δ = div grad$ et en intégrant par parties.

↑ Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007

↑ Atomes circulaires : propriétés et préparation

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$Y_3^2$

$\rho = \rho_0 + \rho_1 \cdot Y_3^2 (\theta,\varphi)$ les parties en blanc sont positives, en bleu négatives	$\rho = \|Y_3^2(\theta,\varphi)\|^2$

$P_1^{mn}(\cos \theta)$
$m$	$n$
-1	0	+1
-1	$\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$
0	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$cosθ$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$
1	$\frac{1}{2} (\cos \theta - 1)$	$-\frac{i}{\sqrt{2}} \sin \theta$	$\frac{1}{2} (1+\cos \theta)$

$P_2^{mn}(\cos \theta)$
$m$	$n$
-2	-1	0	+1	+2
-2	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$\frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2$
-1	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$
0	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$
1	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta - \cos \theta -1)$	$-\sqrt{\frac{3}{2}} i \sin \theta \cos \theta$	$\frac{1}{2}(2 \cos^2 \theta + \cos \theta -1)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$
2	$\frac{1}{4} (\cos \theta - 1)^2$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta - 1)$	$-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} (1 - \cos^2 \theta)$	$-\frac{i}{2} \sin \theta (\cos \theta + 1)$	$\frac{1}{4} (\cos \theta + 1)^2$

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ASTRODYNAMIQUE — L’astrodynamique est la science qui s’attache à expliciter la dynamique des astres et des forces qui les font se mouvoir. Par extension, la dynamique des satellites artificiels lui est assimilée. On peut dès lors définir l’astrodynamique comme la … Encyclopédie Universelle
Invariant De Runge Lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… … Wikipédia en Français
Invariant de Runge Lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… … Wikipédia en Français
Invariant de runge lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… … Wikipédia en Français
Vecteur de Laplace-Runge-Lenz — Vecteur de Runge Lenz Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : . En mécanique classique, le vecteur de Runge Lenz ou invariant de Runge Lenz est un vecteur utilisé… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Harmoniques circulaires

Harmonique sphérique

Sommaire

Résolution de l'équation de Laplace

Expression des harmoniques sphériques

Expression mathématique

Polynômes de Legendre

Harmoniques sphériques normalisées

Base orthonormale des harmoniques sphériques

Normalisation

Expression des harmoniques sphériques normalisées

Représentations graphiques

Représentation sphérique

Représentation en coupe

Représentation cartésienne et polaire

Autres harmoniques

Harmoniques circulaires

Harmoniques sphériques généralisées

Voir aussi

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Bibliographie

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Trois premières harmoniques circulaires
	Représentation cartésienne	Représentations polaires (tracé manuel)	Représentations polaires (tracé exact)
$Y$ ₁
$Y$ ₂
$Y$ ₃

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