Argument D'un Nombre Complexe

Argument d'un nombre complexe

Cet article est un complément de nombre complexe.

Un argument d’un nombre complexe $z\;$ non nul d'image ponctuelle $M\;$ (dans le plan complexe) est une mesure $\theta\;$ (en radians) de l’angle :

$(\overrightarrow{Ox},\;\overrightarrow{OM})\equiv\theta\mod 2\pi$ .

On a alors :

$z=\rho\cdot(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}=\left|z\right|\cdot e^{i\cdot\arg z}\;,$

où $\rho=\left|z\right|\;$ représente le module de $z\;$ .

Souvent on note un argument du nombre complexe $z\;$ de façon simplifiée par :

$\arg z=\theta\;,$

ou plus précisément :

$\arg z \equiv\theta\mod 2\pi\;.$

Rappel :

$\forall\theta\not\equiv\frac\pi 2\mod \pi,\ \tan\theta=\frac{\Im z}{\Re z}\;$ comme en coordonnées polaires et donc :
$\tan\arg z=\frac{\Im z}{\Re z}=\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\;,$ où $\bar z\;$ est le conjugué de $z\;$ ,
si la partie réelle de $z$ est strictement positive, $\arg z\equiv\arctan\frac{\Im z}{\Re z}\equiv\arctan\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\mod 2\pi\;,$ .

De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminée de la façon suivante :

$\arg z=2\arctan \left(\frac{\Im z}{\Re z + \left|z\right|}\right)$ , si $z$ n'est pas un réel négatif, $π$ sinon.

Propriétés :

$\arg(z_1\cdot z_2)\equiv\arg z_1+\arg z_2\mod 2\pi\;,$ si $z_1\;$ et $z_2\;$ sont des complexes non nuls.
$\arg(z^n)\equiv n\cdot\arg z\mod 2\pi\;,$ si $z\;$ est un complexe non nul et $n\;$ un naturel.
$\arg\frac 1z\equiv-\arg z\mod 2\pi\;,$ si $z\;$ est un complexe non nul.

En particulier:

$\arg(a\cdot z)\equiv\arg z\mod 2\pi\;,$ si $a\;$ est un réel strictement positif et $z\;$ un complexe non nul.
$\arg(a\cdot z)\equiv\arg z+\pi\mod 2\pi\;,$ si $a\;$ est un réel strictement négatif et $z\;$ un complexe non nul.

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Argument d%27un nombre complexe ».

Catégories : Angle | Nombre complexe | Analyse complexe

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Argument D'un Nombre Complexe de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

Argument d'un nombre complexe — Représentation des valeurs possibles de l argument, avec sa branche principale hachurée en rouge Cet article est un complément de nombre complexe. Un argument d’un nombre complexe non nul z est une mesure (en radians) … Wikipédia en Français
Nombre Complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. Les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres… … Wikipédia en Français
Nombre complexe — Pour les articles homonymes, voir complexe. En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels … Wikipédia en Français
Racine d'un nombre complexe — Une racine carrée d un nombre complexe z est un nombre complexe w vérifiant w2 = z. Tout nombre complexe a exactement deux racines carrées distinctes, excepté 0, dont 0 est la seule racine carrée. Par exemple, les deux racines carrées de 1 sont i … Wikipédia en Français
argument — [ argymɑ̃ ] n. m. • 1160; lat. argumentum → arguer 1 ♦ Raisonnement destiné à prouver ou à réfuter une proposition, et par ext. Preuve à l appui ou à l encontre d une proposition. ⇒ raisonnement; argumentation, démonstration; preuve, raison.… … Encyclopédie Universelle
Argument (mathématiques) — Argument d un nombre complexe Cet article est un complément de nombre complexe. Un argument d’un nombre complexe non nul d image ponctuelle (dans le plan complexe) est une mesure (en radians) de l’angle : . On a alors … Wikipédia en Français
Racine De Nombre Complexe — Racine d un nombre complexe Une racine carrée d un nombre complexe z est un nombre complexe w vérifiant w2=z. Tout nombre complexe a exactement deux racines carrées distinctes, excepté 0, dont 0 est la seule racine carrée. Par exemple, les deux… … Wikipédia en Français
Racine de nombre complexe — Racine d un nombre complexe Une racine carrée d un nombre complexe z est un nombre complexe w vérifiant w2=z. Tout nombre complexe a exactement deux racines carrées distinctes, excepté 0, dont 0 est la seule racine carrée. Par exemple, les deux… … Wikipédia en Français
Argument fort — Argument Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom … Wikipédia en Français
Argument — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Argument », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) En rhétorique, un argument (voir aussi… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Argument D'un Nombre Complexe