Géométrie différentielle

En mathématique, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles, ensembles ayant une régularité suffisante pour envisager la notion de dérivation, et les fonctions définies sur ces variétés.

La géométrie différentielle trouve sa principale application physique dans la théorie de la relativité où elle permet une modélisation d'une courbure de l'espace-temps.

Points de vue intrinsèque et extrinsèque

Jusqu'au milieu du XIX^e siècle, la géométrie différentielle avait essentiellement un point de vue extrinsèque au sujet des variétés rencontrées, ce qui signifie que celles-ci étaient définies comme un sous-ensemble d'un espace vectoriel topologique (le plus souvent de dimension finie). Par exemple, on étudiait les propriétés d'une courbe pour donner un sens aux notions de tangence, de courbure, etc.

Le point de vue intrinsèque a l'avantage d'être bien plus flexible que le point de vue extrinsèque, ne serait-ce que parce qu'il ne force pas à trouver un espace pouvant « contenir » la variété considérée, ce qui peut parfois se révéler difficile. Par exemple la bouteille de Klein est une surface (c'est-à-dire une variété de dimension 2) mais pour la plonger dans un espace ambiant il faut choisir . De même, il n'est pas évident de trouver un espace « contenant » l'espace-temps courbé. Cependant, la flexibilité gagnée se traduit en une abstraction et une difficulté accrues pour définir les notions géométriques comme la courbure ou topologiques comme la connexité.

Explication mathématique

La géométrie différentielle couvre l'analyse et l'étude de divers concepts :

• l'étude des variétés
• les fibrés tangents et cotangents
• les formes différentielles
• les dérivées extérieures
• les intégrales des p-formes sur des p-variétés
• le théorème de Stokes
• les dérivées de Lie
• la courbure

Tous sont en rapport avec l'analyse à plusieurs variables, mais pour les applications géométriques, il est nécessaire de raisonner sans privilégier un système de coordonnées. Ces concepts distincts de la géométrie différentielle peuvent être considérés comme ceux qui englobent la nature géométrique de la dérivée seconde, c'est-à-dire les caractéristiques de la courbure.

Une variété différentielle dans un espace topologique est une collection d'homéomorphismes d'ensembles ouverts vers une sphère unitaire Rⁿ tels que les ensembles ouverts couvrent l'espace et que si f, g sont des homéomorphismes alors la fonction f^-1 o g d'un sous-ensemble ouvert de la sphère unitaire vers la sphère ouverte unitaire est infiniment différentiable. On dit que la fonction d'une variété vers R' est infiniment différentiable si la composition de chaque homéomorphisme résulte en une fonction infiniment différentiable à partir de la sphère ouverte unitaire à R.

En chaque point de la variété se trouve un espace tangent à ce point constitué de toutes les vitesses (direction et intensité) possibles et avec lesquelles il est possible de s'écarter de ce point. Pour une variété à n dimensions, l'espace tangent en tout point est un espace vectoriel à n dimensions ou, en d'autres termes, une copie de Rⁿ. L'espace tangent a plusieurs définitions. Une définition possible est l'espace vectoriel des chemins qui passent en ce point, quotienté par la relation d'équivalence qui identifie deux chemins ayant le même « vecteur vitesse » en ce point (c'est-à-dire la même dérivée si on les compose avec une carte quelconque).

Un champ de vecteurs est une fonction d'une variété vers l'union disjointe de ses espaces tangents (l'union en elle-même est une variété connu comme le fibré tangent) de telle manière que, en chaque point, la valeur obtenue est un élément de l'espace tangent en ce point. Une telle relation est appelée section d'un fibré. Un champ vectoriel est différentiable si pour chaque fonction différentiable, l'application du champ en chaque point produit une fonction différentiable. Les champs vectoriels peuvent être perçus comme des équations différentielles indépendantes du temps. Une fonction différentiable des réels vers la variété est une courbe sur la variété. Cela définit une fonction des réels vers les espaces tangents : la vitesse de la courbe sur chacun des points qui la constitue. Une courbe est une solution du champ vectoriel si, pour chaque point, la vitesse de la courbe est égale au champ vectoriel en ce point.

Une k-forme linéaire alternée est un élément de la k^e puissance d'un tenseur antisymétrique du dual E^* d'un espace vectoriel E. Une k-forme différentielle d'une variété est un choix, en chaque point de la variété, d'une telle k-forme alternée où E est l'espace tangent en ce point. Elle sera différentiable si le résultat, après une opération sur des k-champs vectorielles différentiables, est une fonction différentiable de la variété vers les réels.

Branches de la géométrie différentielle

Géométrie riemannienne

La géométrie riemannienne est l'étude des métriques riemaniennes : une telle métrique est une famille de produits euclidiens sur une variété différentielle. Cette structure supplémentaire fait apparaître la variété comme un espace euclidien selon un point de vue infinitésimal. Elle permet de généraliser les notions de longueur de la courbe et de mesure de Lebesgue, l'analyse du gradient d'une fonction, de la divergence, etc. Son fort développement durant la seconde moitié du XX^e siècle s'explique par l'intérêt que lui ont porté aussi bien les géomètres que les analystes ou les physiciens. De plus, les métriques riemanniennes peuvent être arbitrairement introduites pour mener à bien les calculs sur les variétés.

Géométrie de Finsler

La géométrie de Finsler est une extension de la géométrie riemannienne, qui prend tout son sens en dimension infinie (par exemple pour l'étude des groupes de difféomorphismes sur une variété). Le principal objet d'étude est la variété de Finsler, id est une variété différentielle munie d'une métrique de Finsler, une norme de Banach définie sur chaque espace tangent.

Géométrie symplectique

La géométrie symplectique est l'étude des formes symplectiques, i.e. des « formes différentielles fermées non dégénérées ». Ces objets ont été introduits dans l'optique d'une formulation mathématique de la mécanique classique. Si les motivations physiques remontent à Lagrange et Hamilton, la géométrie symplectique s'est formée comme domaine d'études à part entière depuis les années 1960 et est aujourd'hui devenu un domaine actif de recherche. Contrairement à la géométrie riemannienne, des questions d'existence des structures se posent. Les principaux moteurs de recherche sont la conjecture d'Arnold, la conjecture de Weinstein et la quantification.

Géométrie de contact

La géométrie de contact est la sœur de la géométrie symplectique en dimension impaire. Il s'agit essentiellement de l'étude des formes de contact, c'est-à-dire des 1-formes différentielles α telles que soit une forme volume (ne s'annule en aucun point). Même si a priori l'objet d'étude semble différent, « sœur » est une dénomination doublement justifiée. D'une part car les géométries symplectique et de contact présentent des résultats « élémentaires » analogues. D'autre part, car des hypersurfaces présentant des structures de contact sont omniprésentes en géométrie symplectique.

Liens

Liens internes

• Fibré vectoriel
• Géométrie riemannienne
• Géométrie non euclidienne
• Géométrie différentielle des surfaces
• Géométrie de Finsler
• Géométrie symplectique
• Géométrie complexe
• Géométrie de contact
• Groupe de Lie
• Relativité générale
• Topologie
• Topologie différentielle

Liens externes

• Frédéric Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, notes de cours (2007) tome 1, tome 2
• (en) Richard S. Palais, A Modern Course on Curves and Surfaces [PDF] (2003) sur le site virtualmathmuseum.org
• (en) Deux galeries d'images de surfaces sur le site virtualmathmuseum.org
• (en) Balázs Csikós, Differential Geometry, notes de cours

Références

Bibliothèque virtuelle

• Alain Chenciner ; 5 cours sur la géométrie différentielle, école d'été « Maths et Cerveau » de l'Institut de Mathématiques de Jussieu (2005) ; pdf.

Bases de la géométrie différentielle

• Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] 
• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
• (en) Michael Spivak (en), (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [détail des éditions]
• Differential Geometry of Curves and Surfaces de Manfredo Do Carmo (1976).
• Riemannian Geometry de Manfredo Perdigao do Carmo, Francis Flaherty (1994)
• Geometry from a Differentiable Viewpoint de John McCleary (1994)
• A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry de Ethan D. Bloch (1996)
• Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. de Alfred Gray (1998)

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