Géométrie descriptive

La géométrie descriptive est une branche de la géométrie qui définit les méthodes nécessaires à la résolution graphique des problèmes d'intersections et d'ombres entre volumes et surfaces définis de façon géométrique dans l'espace à trois dimensions. Il s'agit, en général, de rechercher la vraie grandeur de côtes, de tracer les courbes d'intersections de solides, de déterminer la nature de courbes (ellipse, parabole, hyperbole), de développer des surfaces (conique, cylindrique, prismatique...) ou encore de dessiner un objet selon un angle de vision donné (rotation, rabattement, changement de plan dans l'espace).

Ces problèmes sont pour une part ceux qui étaient posés dans les métiers de la taille des pierres de la charpente (exemple des escaliers débillardés, etc.), de l'usinage et, plus généralement, des métiers mettant en œuvre les métaux en feuille (tôlerie, carrosserie, dinanderie, chaudronnerie). Notons que dans ce dernier cas, l'application spécifique des principes de la géométrie descriptive prend le nom de « traçage des métaux en feuille » (ou simplement « traçage »). La géométrie descriptive a été théorisée par le mathématicien français Gaspard Monge mais les méthodes de projection lui étaient antérieures.

Elle consiste donc à représenter un ou plusieurs objets de l'espace à 3 dimensions en un minimum de projections orthogonales pour en lever l'ambiguïté et conserver, pour le problème posé, le maximum de propriétés utiles (conservation d'angles et de longueurs).

Le choix des plans de projection est donc fonction du problème posé et deux plans de projection sont la plupart du temps suffisants. Un certain nombre de conventions sont nécessaires pour rendre lisible un tracé de géométrie descriptive :

• La projection frontale qui est une projection orthogonale d'une vue de face, est en haut de la feuille ;
• La projection horizontale de la vue de dessus sur le plan horizontal est en bas de la feuille ;
• Les deux projections sont séparées par la « ligne de terre » (« XY » en géométrie descriptive, « LT » en traçage), une ligne horizontale représentant l'intersection des deux plans de projection dans l'espace ;
• Les points des deux projections sont appariés par des lignes de rappel figurées par des traits fins (ou rouges) ;
• La vraie grandeur est dessinée en traits fins de couleur bleue ;
• Les objets sont considérés comme des solides opaques. Les arêtes vues sont en trait noir continu et les arêtes cachées sont en pointillé.

Le « dessin géométral », couramment appelé dessin industriel, est une mise en œuvre directe de la géométrie descriptive avec des conventions proches, mais un peu différentes.

Représentation des points d'intersection d'une droite quelconque avec un cône oblique à base elliptique

Épure réalisée au moyen de deux vues, une vue frontale et une vue horizontale, ces deux vues étant séparées par une ligne de terre (LT), les points d'intersection sont représentés en {G,H}.

Détermination, à l'aide d'une épure de traçage, des points de l'intersection (G et H) d'une droite quelconque et d'un cône.

Explication de l'épure au moyen d'une représentation en perspective :

Représentation des points G et H de l'intersection d'une droite quelconque avec un cône.

Représentation d'une intersection entre deux volumes

Exemple du tracé manuel d'une intersection cône/sphère

L'intersection de deux volumes (par exemple un perçage débouchant en surface ou bien deux pièces soudées) suit souvent une courbe « complexe ». Le dessin de cette courbe nécessite de repérer les points sur deux projections : le point appartient aux deux volumes, une des vues va donner sa cote, l'autre vue son éloignement. La construction de cette courbe va se faire "point par point", avec la méthode du plan auxiliaire.

Voir aussi

• Propriétés métriques des droites et plans
• Lorsque l'on considère les projections coniques sur deux plans qui ne sont pas perpendiculaires, on peut retrouver les coordonnées d'un point en trois dimensions au moyen de la Géométrie épipolaire.
• b:Solution analytique à l'intersection de deux corps creux à parois épaisses

Lien externe

• A. Javary, Traité de géométrie descriptive, 1881 (sur Gallica) :
  • Cônes et cylindres, sphère et surfaces du second degré
  • La ligne droite, le plan, les polyèdres

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