Fibre tangent

Fibre tangent

Fibré tangent

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En géométrie différentielle le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété. Le fibré tangent est lui-même une variété différentielle, et un espace fibré de base M

Cas des sous-variétés

Supposons que M soit une sous-variété de classe Ck (k ≥ 1) et de dimension d de \mathbb{R}^n\,. On peut voir alors TM comme l'ensemble des couples (x,v)\in \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n formés d'un point x\in M et d'un vecteur v tangent à M en x. (passer à \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe Ck − 1 et de dimension 2d de \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n En effet, pour tout point de M, il existe un ouvert U\subset \mathbb{R}^n et une submersion f:U\mapsto \mathbb{R}^{n-d} (de classe Ck) tels que U\cap M= f^{-1}(0). On en déduit que

T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb{R}^n, f(x)=0\ \mathrm{et}\ f^\prime(x)\cdot v =0\}

Mais l'application (x,v)\mapsto \big(f(x),f^\prime(x)\cdot v\big) est une submersion de classe Ck − 1 de U\times \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}^{2(n-d)}

Exemple. Le fibré tangent au cercle S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, x^2+y^2=1\} apparaît ainsi comme la sous-variété

\{(x,y,X,Y)\in \R^4, x^2+y^2=1, xX+yY=0\}.

Il est difféomorphe au cylindre S^1\times \R (voir ci-contre).

Définition formelle

On définit T(M) en se donnant pour chaque ouvert U de M une trivialisation locale

\varphi_{U}\left\{\begin{matrix} T(M) & \rightarrow & U \times V \\ m & \mapsto & (P_U(m),v_U(m)) \end{matrix}\right.

où V est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à M en n'importe quel P\in U et pour chaque m\in T(M), vU(m) appartient à l'espace tangent à M en PU(m) .

Par ailleurs \varphi_{U} doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si P_0=P(m)\in U_1\cap U_2 où U_1\, et U_2\, sont des ouverts associés à des cartes x_1^\mu et x_2^\mu alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs v_{U_1} et v_{U_2})

v_{U_2}^\mu (m)= \left.\frac{\partial x_2^\mu}{\partial x_1^\nu}\right|_{P_0} v_{U_1}^\nu (m)

où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.

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