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Fibré tangent
En géométrie différentielle le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété. Le fibré tangent est lui-même une variété différentielle, et un espace fibré de base M
Cas des sous-variétés
Supposons que M soit une sous-variété de classe Ck (k ≥ 1) et de dimension d de
. On peut voir alors TM comme l'ensemble des couples
formés d'un point
et d'un vecteur v tangent à M en x. (passer à
permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)
On obtient ainsi une sous-variété de classe Ck − 1 et de dimension 2d de
En effet, pour tout point de M, il existe un ouvert
et une submersion
(de classe Ck) tels que
. On en déduit que
Mais l'application
est une submersion de classe Ck − 1 de
dans
Exemple. Le fibré tangent au cercle
apparaît ainsi comme la sous-variété
.
Il est difféomorphe au cylindre
(voir ci-contre).
Définition formelle
On définit T(M) en se donnant pour chaque ouvert U de M une trivialisation locale
où V est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à M en n'importe quel
et pour chaque
, vU(m) appartient à l'espace tangent à M en PU(m) .
Par ailleurs
doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si
où
et
sont des ouverts associés à des cartes
et
alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs
et
)
où on a adopté la convention de sommation d'indices répétés d'Einstein.
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Catégorie : Géométrie différentielle
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