- Groupe simple
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En mathématiques, un groupe simple est un groupe non trivial qui ne possède pas de sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial[1],[2].
Sommaire
Définition
Soit (G, * ) un groupe non trivial. On dit qu'il s'agit d'un groupe simple s'il n'a pas de sous-groupe distingué mis à part ({e}, * ) (e étant l’élément neutre du groupe) et (G, * ) lui-même.
Exemples
Quelques exemples de groupes simples :
- Les seuls groupes abéliens simples sont les groupes cycliques d'ordre premier.
DémonstrationSoit G un groupe abélien simple. Comme G est non trivial, il contient un élément g autre que le neutre ; le sous-groupe engendré par g est normal (comme sous-groupe d'un groupe commutatif) et non trivial, donc égal à G, si bien que G est monogène. De plus G est fini (sinon il serait isomorphe à
et contiendrait le sous-groupe strict 
). G est donc cyclique d'ordre fini n. Pour tout diviseur d de n, G possède un sous-groupe d'ordre d donc (par simplicité) d est égal à 1 ou n. Ainsi, n est nécessairement premier.- Le groupe
des matrices spéciales orthogonales d'ordre 3 à coefficients réels.
- Pour n supérieur ou égal à 5, le groupe alterné sur n éléments An. Ce résultat est à la base de la théorie de la résolution par radicaux.
- De nombreux groupes de type Lie sont simples. C'est le cas, par exemple du groupe simple d'ordre 168 qui peut être vu comme le groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension 3 sur le corps fini à deux éléments.
- Les groupes sporadiques.
Intérêt
Le terme « simple » signifie que de tels groupes ne sont pas, en quelque sorte, « réductibles » à un groupe plus maniable. L'intérêt d'un sous-groupe distingué non trivial H d'un groupe G est souvent de permettre la construction du groupe quotient G / H. L'étude de G se ramène alors à celle de H et de G / H. Cette construction n'est pas possible pour un groupe simple et on ne peut donc pas ramener son étude à celle d'un groupe quotient de cardinal plus petit que lui.
Tout groupe simple non abélien est non résoluble.
Les groupes simples finis sont importants car il peuvent être perçus comme les briques de base de tous les groupes finis, de la même façon que tous les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers.
La classification des groupes simples finis fut achevée en 1982.
Théorème de Feit et Thompson
Article détaillé : Théorème de Feit et Thompson.Le théorème de Feit et Thompson dit que tout groupe fini d’ordre impair est résoluble. Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).
Notes et références
- (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 4e éd., tirage de 1999, p. 39
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, ch. 1, 1970, p. 36
Voir aussi
Wikimedia Foundation. 2010.
