Groupe nilpotent

 Ne doit pas être confondu avec Élément nilpotent.

En théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent naturellement dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires (en).

Définition

Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.

On définit alors par récurrence une suite de sous-groupes de G, notés Cⁿ(G), par

• C¹(G) = G
• C^{n + 1}(G) = [G,Cⁿ(G)].

Cette suite est appelée la suite centrale descendante de G^[1]. On dit que G est nilpotent s'il existe un entier n tel que Cⁿ(G) = {e}. En outre, si G est un groupe nilpotent, sa classe de nilpotence est le plus petit entier n tel que C^{n + 1}(G) = {e}.

Exemples

• Un groupe est nilpotent de classe 0 si et seulement s'il est trivial.

• Un groupe est nilpotent de classe 1 si et seulement s'il est abélien et non trivial.

• Le sous-groupe de formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale est nilpotent de classe n − 1^[2].

• Un p-groupe est nilpotent.

• Le groupe de Heisenberg discret est nilpotent de classe 2.

Propriétés

• Un sous-groupe d'un groupe nilpotent est nilpotent. L'image d'un groupe nilpotent par un morphisme de groupe est un groupe nilpotent.

• Soit Z(G) le centre d'un groupe nilpotent G. Si G n'est pas le groupe trivial, alors Z(G) n'est pas non plus trivial. Plus généralement, si N est un sous-groupe non trivial de G, alors n'est pas non plus trivial^[3].

• Si G/Z(G) est nilpotent, alors G est nilpotent.

• Si H est un sous-groupe propre de G nilpotent, alors H est strictement inclus dans son normalisateur.

• Tout groupe nilpotent est résoluble.

• Les éléments d'ordre fini d'un groupe nilpotent G forment un sous-groupe de G^[4].

• Si G est un groupe fini, les conditions suivantes sont équivalentes^[5] :

1. G est nilpotent ;
2. G est produit direct de ses sous-groupes de Sylow ;
3. G est un produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers ;
4. pour tout nombre premier p, G est p-clos (anglais p-closed), c'est-à-dire que les éléments de G dont l'ordre est puissance de p forment un sous-groupe de G, ou encore que G admet un p-sous-groupe de Sylow normal (qui est alors l'unique p-sous-groupe de Sylow de G) ;
5. tout sous-groupe maximal de G est normal dans G.

Groupe linéaires nilpotents

On a déjà vu que est un groupe nilpotent. Il possède la propriété intéressante d'être formé d'éléments unipotents, c'est-à-dire de la forme I_n + N, où N est une matrice nilpotente. Des théorèmes liés à la réduction des endomorphismes et aux représentations des groupes permettent de montrer la réciproque. Ceci peut être vu comme un analogue du théorème d'Engel sur les algèbres de Lie.

Soyons plus précis. On montre tout d'abord que si est un sous-groupe formé uniquement d'éléments unipotents, alors tous les éléments de G sont simultanément trigonalisables. Autrement dit, on obtient que G est conjugué à un sous-groupe de . En particulier, G est nilpotent.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Schmidt (théorie des groupes)
• Noyau de Frobenius
• Sous-groupe de Fitting

Lien externe

G. Endimioni, Une introduction aux groupes nilpotents, Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence, pdf

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