Groupe De Heisenberg

Groupe De Heisenberg

Groupe de Heisenberg

En géométrie différentielle, le groupe de Heisenberg, nommée en faveur de Werner Heisenberg, est le groupe de Lie réel de dimension 3, sous-groupe de GL3(R) des matrices de la forme :


\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.
a,b,c\in R

Il est usuellement noté H3(R).

Structure de groupe

H3(R) est un groupe de Lie nilpotent.

Il admet un réseau: le groupe de Heisenberg discret, noté H3(Z). C'est le groupe des matrices de la forme :


\begin{pmatrix}
 1 & m & n\\
 0 & 1 & p\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}\quad
m,n,p\in Z

Ce groupe H3(Z) est un groupe nilpotent non abélien engendré par deux générateurs, à savoir :


x=
\begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
,\quad y=
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 1\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}

et les relations z = xyx − 1y − 1, xz = zx, et yz = zy. L'élément z s'écrit :

z=\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

Par le théorème de Bass, il a une croissance polynomiale d'ordre 4.

Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, un groupe de Heisenberg peut être construit à partir d'un espace vectoriel symplectique (V,ω) (ω est une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur V. Le groupe de Heisenberg H(V) est l'espace topologique V\times R muni de la loi de groupe :

 (v_1,t_1)*(v_2,t_2)=(v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2))

Le groupe de Heisenberg est une extension du groupe additif V. L'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace vectoriel h(V)=V\oplus R, muni du crochet de Lie :

[(v1,t1),(v2,t2)] = ω(v1,v2)
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