Groupe de Heisenberg

Groupe de Heisenberg

En géométrie différentielle, le groupe de Heisenberg, nommé en l'honneur de Werner Heisenberg, est le groupe de Lie réel de dimension 3, sous-groupe de GL3(R) des matrices de la forme :

\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}. a,b,c\in R

Il est usuellement noté H3(R).

Structure de groupe

H3(R) est un groupe de Lie nilpotent.

Il admet un réseau : le groupe de Heisenberg discret, noté H3(Z). C'est le groupe des matrices de la forme :

\begin{pmatrix} 1 & m & n\\ 0 & 1 & p\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\quad m,n,p\in Z

Ce groupe H3(Z) est un groupe nilpotent non abélien engendré par deux générateurs, à savoir :

x= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ,\quad y= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}

et les relations z = xyx − 1y − 1, xz = zx, et yz = zy. L'élément z s'écrit :

z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.

Par le théorème de Bass, il a une croissance polynomiale d'ordre 4.

Paramétrage par \mathbb{R}^3

Ce groupe peut clairement être paramétré par \mathbb{R}^3. Le groupe s'identifie alors à \mathbb{R}^3 muni du produit (x,y,z)(x',y',z') = (x + x',y + y',z + z' + yx'), en posant

(x,y,z) = \begin{pmatrix} 1 & y & z\\ 0 & 1 & x\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}. x,y,z\in R


Dans ce paramétrage, l'inverse de (x,y,z) est ( − x, − y, − z + xy).

Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, un groupe de Heisenberg peut être construit à partir d'un espace vectoriel symplectique (V,ω) (ω est une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur V. Le groupe de Heisenberg H(V) est l'espace topologique V\times R muni de la loi de groupe :

(v_1,t_1)*(v_2,t_2)=(v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2))

Le groupe de Heisenberg est une extension du groupe additif V. L'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace vectoriel h(V)=V\oplus R, muni du crochet de Lie :

[(v1,t1),(v2,t2)] = ω(v1,v2)

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe de Heisenberg de Wikipédia en français (auteurs)

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