- Sous-groupe maximal d'un groupe
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En théorie des groupes, on appelle sous-groupe maximal d'un groupe G tout élément maximal de l'ensemble des sous-groupes propres de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion[1]. (On entendra ici par « sous-groupe propre de G » un sous-groupe de G distinct de G.) Autrement dit, un sous-groupe maximal de G est un sous-groupe propre H de G tel qu'aucun sous-groupe de G ne soit strictement compris entre H et G.
L'ensemble des éléments d'un groupe G qui appartiennent à tout sous-groupe maximal de G est évidemment un sous-groupe de G. On l'appelle le sous-groupe de Frattini de G.
Exemples de sous-groupes maximaux
- D'après la formule des indices, tout sous-groupe d'indice fini premier est un sous-groupe maximal.
- On sait que le groupe alterné A4 est un groupe d'ordre 12 qui n'a pas de sous-groupe d'ordre 6[2]; un sous-groupe d'ordre 3 de A4 (il en existe évidemment) est donc un sous-groupe maximal d'indice 4 (non premier).
Quelques faits
- Un groupe réduit à l'élément neutre n'a pas de sous-groupes propres et n'a donc pas de sous-groupes maximaux.
- Dans un groupe fini, tout sous-groupe propre est contenu dans au moins un sous-groupe maximal.
(Parmi les sous-groupes propres d'un groupe fini G qui contiennent le sous-groupe propre H, en considérer un dont l'ordre est le plus grand possible.)
- En particulier, tout groupe fini non réduit à l'élément neutre admet au moins un sous-groupe maximal.
(Dans ce qui précède, faire H = 1.)
- Plus généralement, on prouve (à l'aide du lemme de Zorn) que dans tout groupe de type fini, tout sous-groupe propre est contenu dans au moins un sous-groupe maximal[3].
- Si un sous-groupe maximal est normal, son indice est fini et premier[4].
En effet, si un sous-groupe normal M de G est sous-groupe maximal de G, alors, d'après le théorème de correspondance, le groupe non trivial G/M (par « trivial », on entend ici réduit à l'élément neutre) n'admet pour sous-groupes que lui-même et son sous-groupe trivial; or on montre facilement qu'un groupe non trivial qui n'admet pour sous-groupes que lui-même et son sous-groupe trivial est un groupe fini d'ordre premier. (Soit H un tel groupe. H doit être égal à son sous-groupe engendré par n'importe quel élément distinct du neutre, donc H est monogène. Il ne peut pas être monogène infini, car dans ce cas il serait isomorphe au groupe additif Z des entiers relatifs, or Z a d'autres sous-groupes que lui-même et son sous-groupe nul. Donc H est cyclique. (On entend ici par groupe cyclique un groupe monogène fini.) Son ordre ne peut pas être composé, car un groupe cyclique C admet un sous-groupe d'ordre d pour tout diviseur d de l'ordre de C.)
- Puisque tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal, il résulte du fait précédent que tout sous-groupe maximal d'un groupe abélien est d'indice fini et premier.
On montre facilement que le seul sous-groupe d'indice fini du groupe additif Q des nombres rationnels est Q lui-même. (Soit G un sous-groupe d'indice fini de Q, soit n l'indice de G dans Q. Alors, pour tout x dans Q, nx appartient à G. Mais tout nombre rationnel est de la forme nx pour un certain nombre rationnel x, donc G = Q.) Donc, d'après ce qui précède,
- Q n'a pas de sous-groupes maximaux[5].
- Plus généralement, un groupe abélien est divisible si et seulement s'il n'a pas de sous-groupe maximal.
- On voit ainsi qu'un groupe infini peut ne pas avoir de sous-groupe maximal.
Un sous-groupe maximal n'est pas forcément normal (on a vu qu'un sous-groupe d'ordre 3 du groupe alterné A4 est maximal, or un tel sous-groupe n'est pas normal), mais on prouve que dans tout groupe nilpotent, tout sous-groupe maximal est normal[6].Un exemple d'usage de la notion de sous-groupe maximal est le théorème suivant : une opération transitive d'un groupe G sur un ensemble X d'au moins deux éléments est primitive si et seulement si, pour tout élément x de X, le stabilisateur de x est un sous-groupe maximal de G[7].
Notes et références
- Définition conforme à J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 159.
- Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 48.
- Pour une démonstration, voir par exemple Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 163. La démonstration se déduit immédiatement du fait, facile à démontrer, que si G est un groupe de type fini et H un sous-groupe propre de G, la réunion d'un ensemble non vide, totalement ordonné par inclusion, de sous-groupes propres de G contenant H est elle-même un sous-groupe propre de G (contenant H).
- Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 161, ou encore J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 117.
- Voir par exemple Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, ch. IV, exerc. 36, c), p. 174.
- Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, rééd. Dover, 1987, p. 143, énoncé 6.4.9.
- Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 258.
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