- Sous-groupe de Fitting
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Soit G un groupe, au sens mathématique. On prouve que si H1, ...., Hn sont des sous-groupes normaux nilpotents de G, le sous-groupe de G engendré par H1, ...., Hn est lui aussi un sous-groupe normal nilpotent de G[1]. Il en résulte que si le groupe G est fini, le sous-groupe F(G) de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G est lui-même normal et nilpotent. Il est clair que F(G) est alors le plus grand (relativement à l'inclusion) des sous-groupes normaux nilpotents de G et que c'est un sous-groupe caractéristique de G. On pose dès lors la définition suivante : si G est un groupe fini, on appelle sous-groupe de Fitting de G et on note F(G)[2] ou Fit(G)[3] le plus grand (relativement à l'inclusion) des sous-groupes normaux nilpotents de G.
On montre[4] que si G est un groupe fini et que, pour tout diviseur premier p de l'ordre de G, on désigne par Op(G) l'intersection de tous les p-sous-groupes de Sylow de G (intersection qui est aussi le plus grand p-sous-groupe normal de G), alors F(G) est le produit direct des Op(G), où p parcourt les diviseurs premiers de l'ordre de G.
Pour un groupe infini, la terminologie varie. Certains auteurs[5] disent qu'un groupe (non forcément fini) G admet un sous-groupe de Fitting si et seulement s'il admet un plus grand sous-groupe normal nilpotent (et c'est alors ce sous-groupe qui est appelé le sous-groupe de Fitting de G). Selon cette définition, un groupe infini n'a pas forcément de sous-groupe de Fitting[6]. D'autres auteurs[7] définissent le sous-groupe de Fitting d'un groupe quelconque G comme le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G. Avec cette définition, tout groupe admet un sous-groupe de Fitting (qui n'est pas forcément nilpotent).
Notes et références
- Pour une démonstration de cet énoncé, sous une forme d'ailleurs plus précise, voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), en ligne, p. 14.
- C'est la notation employée par exemple par H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 104. J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e édition, tirage de 1999, p. 118, met le F en ronde.
- W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 167; J.C. Lennox et D.J.S. Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups, Clarendon Press, Oxford, 2004, p. 9.
- Voir par exemple H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 104.
- Voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 167.
- Pour une démonstration, voir par exemple W.R. Scott, Group Theory, réimpr. Dover, 1987, p. 166.
- Voir par exemple G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), en ligne, p. 14, ou encore J.C. Lennox et D.J.S. Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups, Clarendon Press, Oxford, 2004, p. 9.
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