Logarithme/Demonstration de l'approximation de la fonction lg

Logarithme/Demonstration de l'approximation de la fonction lg: Logarithme/Démonstration de l'approximation de la fonction lg

Soit log_b la fonction logarithme dont l'indice b est un nombre réel positif non nul et non unitaire représentant la base. Il est possible d’approcher le logarithme en base 2 d’un nombre par la somme des logarithmes en base 10 et en base e (logarithme népérien ou logarithme naturel) de ce même nombre (ici e désigne la constante d’Euler irrationnelle valant environ 2,7182...).

La relation s’écrit de la manière suivante :
$\forall x,\ \log_2\ x\ \approx \log_e\ x\ +\ \log_{10}\ x$

Cette formule est utilisée principalement pour le calcul manuel rapide de logarithmes de base 2 à l’aide d'une simple addition de valeurs obtenues par des tables classiques de logarithmes naturels et népériens, plutôt que par la multiplication, plus longue à évaluer, du logarithme naturel ou népérien par le facteur respectif log₂10 ou log₂e. En effet, la formule ci-dessus surévalue de près de 0,6 % le logarithme de base 2 ainsi obtenu.

Démonstration

Pour la démonstration, on utilise l’égalité suivante reliant des logarithmes de bases réelles strictement positives et non unitaires quelconques a et b :
$\forall x\ \forall a\ \forall b,\ \log_a\ x\ =\ \frac{\log_b\ x}{\log_b\ a}$

On a alors :

$\forall x,\ \log_e\ x\ +\ \log_{10}\ x$ $\ =\$ $\frac{\log_2\ x}{\log_2\ e}\ +\ \frac{\log_2\ x}{\log_2\ 10}$

$\ =\$ $\left(\frac 1{\log_2\ e}\ +\ \frac 1{\log_2\ 10}\right)\ \times\ \log_2\ x$

$\ =\$ ${0,994177...}\ \times\ \log_2\ x$

$\ \approx\$ $\log_2\ x$

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Catégorie : Analyse numérique

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	$\ =\$	$\left(\frac 1{\log_2\ e}\ +\ \frac 1{\log_2\ 10}\right)\ \times\ \log_2\ x$
	$\ =\$	${0,994177...}\ \times\ \log_2\ x$
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