Identites logarithmiques

Identites logarithmiques

Identités logarithmiques

Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Sommaire

Valeurs particulières

  • \log_a1 = 0\,
  • \log_aa = 1\,

Multiplication, division et exponentiation

  • \log_c(a\cdot b) = \log_ca + \log_cb\,
  • \log_c\left(\frac{a}{b}\right) = \log_ca - \log_cb\,
  • \forall r\in\R,\ \log_c(a^r) = r\cdot\log_ca\,

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul ; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

Formules de G. G. Gendre:

  • \log_c(a + b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} + 1 )+ \log_cb pour a > b
  • \log_c(a - b) = \log_c(c^{(\log_ca - \log_cb)} - 1 )+ \log_cb pour a > b

Ces formules permettent dans certains cas de calculer numériquement log(a + b) en fonction de log(a) et log(b) en évitant des dépassements des limites numériques.

Réciprocité

  • a^{\log_ab} = b\,
  • pour tout nombre réel r, loga(ar) = r

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

Changement de base

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\,

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart des ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.

\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb
Démonstration

Cette formule découle simplement du rapport constant lors du changement de base.

Hypothèse : \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb

\iff \frac{\log_cb}{\log_ca} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb (changement de base à gauche)
\iff \frac{\log_cb}{\frac{\log_aa}{\log_ac}} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb (changement de base de logca)
\iff \frac{\log_cb\cdot\log_ac}{\log_aa} \cdot \frac{\log_ad}{\log_ac} = \log_ad\cdot\log_cb (multiplication par l'inverse)
\iff \frac{\log_cb\cdot\log_ad}{\log_aa} = \log_ad\cdot\log_cb (simplification des logac)
\iff \log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb\, (simplification de logaa)

∎CQFD

Limites

\lim_{x\to 0} \log_a x = -\infty pour a > 1
\lim_{x\to 0} \log_a x = +\infty pour 0 < a < 1
\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty pour a > 1
\lim_{x\to +\infty} \log_a x = -\infty pour 0 < a < 1
\lim_{x\to 0}\ \log_a (x)\cdot x^b = 0 pour b rationnel positif
\lim_{x\to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0 pour b rationnel positif

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».

Dérivée

(\log_ax)' = \frac{1}{x\ln a}

Dans le cas particulier de la base e :

(\ln x)' = \frac1x

Primitive

\int\log_ax\;\mathrm dx = x\cdot\left[\log_ax-\frac{1}{\ln a}\right]
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Identit%C3%A9s logarithmiques ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Identites logarithmiques de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Identités Logarithmiques — Voici une liste d identités utiles lorsqu on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.… …   Wikipédia en Français

  • Identités logarithmiques — Voici une liste d identités utiles lorsqu on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.… …   Wikipédia en Français

  • Logarithme — Fonctions logarithmes : en rouge la fonction logarithme de base e, en vert celle de base 10 et en violet celle de base 1,7. Le logarithme de base b d un nombre réel positif est la …   Wikipédia en Français

  • Fonction logarithme (mathématiques élémentaires) — Logarithme naturel Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est, en mathématiques, le logarithme de base e. C est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s annule en… …   Wikipédia en Français

  • Logarithme Naturel — Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est, en mathématiques, le logarithme de base e. C est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s annule en 1. Le logarithme… …   Wikipédia en Français

  • Logarithme Népérien — Logarithme naturel Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est, en mathématiques, le logarithme de base e. C est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s annule en… …   Wikipédia en Français

  • Logarithme naturel — Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, la fonction logarithme de base e. C est donc la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C est aussi la primitive définie sur ] 0 , + ∞ [ et qui s annule en 1 de la… …   Wikipédia en Français

  • Logarithme népérien — Logarithme naturel Le logarithme naturel ou logarithme népérien, est, en mathématiques, le logarithme de base e. C est la réciproque de la fonction exponentielle de base e. C est la primitive de la fonction inverse définie sur et qui s annule en… …   Wikipédia en Français

  • Fonction logarithme — Logarithme Représentations graphiques du logarithme décimal (vert), du logarithme népérien (noir) et du logarithme binaire (bleu) En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction f définie sur à valeurs dans …   Wikipédia en Français

  • Logarythme — Logarithme Représentations graphiques du logarithme décimal (vert), du logarithme népérien (noir) et du logarithme binaire (bleu) En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction f définie sur à valeurs dans …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”