Fonction lipschitzienne

Fonction lipschitzienne

Application lipschitzienne

En analyse mathématique, une application lipschitzienne (du nom de Rudolf Lipschitz) est une application possédant une certaine propriété de régularité qui est plus forte que la continuité. Intuitivement, c'est une fonction qui est limitée dans sa manière d'évoluer. Tout segment reliant deux points du graphe d'une telle fonction aura une pente inférieure à une constante appelée constante de Lipschitz.

Les fonctions lipschitziennes sont un cas particulier de fonctions höldériennes.

Sommaire

Définitions

Cas réel

Soient I un intervalle de \R (non vide et non réduit à un point), f: I\to\R une application et k un réel strictement positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si

\forall (x,y) \in I^2,\ |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|

Cas des espaces métriques

Soient (E,dE) et (F,dF) des espaces métriques, f: E \to F une application et k un réel strictement positif.

On dit que f est k-lipschitzienne si et seulement si

\forall (x,x') \in E^2,\ d_F \left(f(x),f(x')\right) \leq k d_E(x,x')

De plus

  • f est dite lipschitzienne s'il existe k > 0 tel que f soit k-lipschitzienne.
  • Le plus petit k tel que f soit k-lipschitzienne est appelé constante de Lipschitz.
  • f est dite contractante si et seulement s'il existe un k\in[0,1[ tel que f soit k-lipschitzienne.

Propriétés

Quelques propriétés


Démonstration

Soient f:I \longrightarrow \mathbb{R} une fonction k-lipschitzienne (avec I un intervalle réel et k un réel positif) et \varepsilon >0.

On pose \eta=\frac{\varepsilon}{k+1}>0. Comme f est k-lipschitzienne, on a:

\forall (x,x') \in I^2,~|x-x'| \leq \eta \Longrightarrow |f(x)-f(x')| \leq k \frac{\varepsilon}{k+1}<\varepsilon .

Ceci prouve que f est uniformément continue sur I.

La démonstration s'adapte au cas des espaces métriques.

  • D'après un théorème de Rademacher, toute fonction lipschitzienne définie sur \mathbb{R}^n est différentiable presque partout pour la mesure de Lebesgue. Cela rend les fonctions lipschitziennes très utiles dans diverses branches des mathématiques, par exemple en théorie géométrique de la mesure où la différentiabilité presque partout est largement suffisante.
  • Le théorème de Kirszbraun affirme qu'une fonction lipschitzienne f : A \to \mathbb{R}^m, où A est un sous-ensemble de \mathbb{R}^n peut se prolonger en une fonction lipschitzienne définie sur \mathbb{R}^n tout entier avec la même constante de Lipschitz.

Caractérisation des fonctions dérivables et lipschitziennes

Une fonction f dérivable est lipschitzienne si et seulement si sa dérivée est bornée.

En effet, si f est k-lipschitzienne, la valeur absolue de chaque quotient

\frac{f(x) - f(x')}{x - x'}

pour x et x' distincts, est majorée par k; par passage à la limite, on en déduit que la valeur absolue de la dérivée de f est elle aussi majorée par k.

Et réciproquement, si la valeur absolue de la dérivée est majorée par k, f est k-lipschitzienne, d'après l'inégalité des accroissements finis.

Exemples

  • Toute fonction continûment dérivable sur un intervalle fermé borné est lipschitzienne (en effet, sa dérivée, continue sur cet intervalle, est bornée d'après un théorème de Weierstrass).
  • La fonction f : [0, 1] \to \R définie par f(x) = \sqrt{x} n'est pas lipschitzienne.
  • Démonstration directe : pour x>0, on a (f(x)-f(0))/x=1/\sqrt{x}, qui n'est pas borné au voisinage de x=0.
  • Démonstration en utilisant la contraposée du théorème sur la dérivée d'une fonction lipschitzienne : la restriction de f à ]0,1] est dérivable ; sa dérivée est x\mapsto 1/(2\sqrt{x}) qui n'est pas bornée sur ]0,1], donc cette restriction de f n'est pas lipschitzienne ; a fortiori, f ne l'est pas non plus.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Application lipschitzienne ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction lipschitzienne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Fonction puissance — En mathématiques, et plus spécialement en analyse, les fonctions puissances sont les fonctions définies par fa(x) = xa où a peut désigner un entier naturel, un entier relatif, ou même un réel que l on appelle l exposant de la fonction puissance.… …   Wikipédia en Français

  • Fonction à variation bornée — En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le Théorème de Dirichlet sur la convergence… …   Wikipédia en Français

  • Fonction convexe — Fonction convexe. En mathématiques une fonction convexe est une fonction réelle d une variable réelle définie sur un intervalle et dont le graphe est « tourné vers le haut » : pour tous points A et B de ce graphe, le segment [AB]… …   Wikipédia en Français

  • Fonction Convexe — En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction convexe est une fonction numérique vérifiant une propriété de sous additivité vis à vis de la barycentration. Graphiquement, cela correspond à un graphe dont la « partie… …   Wikipédia en Français

  • Fonction B-différentiable — En analyse mathématique, la B différentiabilité est un concept de différentiabiité plus faible que celui de Fréchet, dans lequel l opérateur dérivée n est pas requis d être linéaire et borné, mais seulement positivement homogène et borné. La… …   Wikipédia en Français

  • Fonction holdérienne — Condition de Hölder En analyse, la continuité Höldérienne ou la condition de Hölder est une condition suffisante pour qu une application définie entre espaces métriques soit continue. Si (X,d) et (Y,d ) sont deux espaces métriques, une fonction… …   Wikipédia en Français

  • Fonction hölderienne — Condition de Hölder En analyse, la continuité Höldérienne ou la condition de Hölder est une condition suffisante pour qu une application définie entre espaces métriques soit continue. Si (X,d) et (Y,d ) sont deux espaces métriques, une fonction… …   Wikipédia en Français

  • Fonction höldérienne — Condition de Hölder En analyse, la continuité Höldérienne ou la condition de Hölder est une condition suffisante pour qu une application définie entre espaces métriques soit continue. Si (X,d) et (Y,d ) sont deux espaces métriques, une fonction… …   Wikipédia en Français

  • Fonction continue — Continuité En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la… …   Wikipédia en Français

  • Fonction de plusieurs variables — En mathématiques et plus spécialement en analyse vectorielle, une fonction numérique à plusieurs variables réelles est une fonction dont l ensemble de départ E est une partie de . L ensemble d arrivée F peut être ou . Le second cas peut se… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”