Théorème d'arrêt de Doob

Théorème d'arrêt de Doob

Le théorème d'arrêt de Doob est dû à Joseph Leo Doob.

Énoncé

On considère un processus stochastique \scriptstyle X=(X_{t})_{t\in\mathbb N}.\

Théorème —  (a) Supposons que X est une surmartingale, et que T est un temps d'arrêt. Alors, dès que l'un des 3 ensembles d'hypothèses ci-dessous est satisfait :

(i) T est borné (i.e. il existe un entier N tel que, pour tout ω, \scriptstyle T(\omega) \leq N) ;
(ii) X est borné (i.e. il existe un réel K tel que, pour tout n et ω, \scriptstyle\ |X_{n}(\omega)|\leq k) et, de plus, T est presque sûrement fini;
(iii) T est intégrable, et il existe un réel K tel que pour tout n et ω,
\forall (n,\omega),\qquad |X_{n}(\omega)-X_{n-1}(\omega)| \le K;

il suit que XT est intégrable, et que

\mathbb E[X_{T}] \leq \mathbb E[X_{0}].

(b) Si n'importe lequel parmi les 3 ensembles de conditions (i) ... (iii) est satisfait et si X est une martingale, alors

\mathbb E[X_{T}] = \mathbb E[X_{0}].
v · Probabilités et statistiques
Théorie des probabilités Axiomes des probabilités • Espace probabilisable • Probabilité • Événement • Tribu • Indépendance
Probabilités élémentaires Moyenne • Espérance • Médiane • Variance • Écart type
Loi de probabilité Variable aléatoire • Loi de Bernoulli • Loi de Poisson • Loi uniforme • Loi normale • Loi de Student • Loi de Fisher • Variables iid
Convergence de lois Théorème central limite • Loi des grands nombres • Théorème de Borel-Cantelli
Calcul stochastique Marche aléatoire • Chaîne de Markov • Processus stochastique • Processus de Markov • Martingale • Mouvement brownien • Équation différentielle stochastique
Statistiques
Statistique descriptive Échantillon • Quantile • Intervalle de confiance • Représentations de données • Histogramme • Diagramme circulaire • Boîte à moustaches • Régression linéaire • Méthode des moindres carrés
Statistique mathématique Fonction de répartition empirique • Théorème de Glivenko-Cantelli • Inférence bayésienne
Tests statistiques Test d'hypothèse • Hypothèse statistique • Estimateur • Test du χ² • Test t • Test de Fisher
Applications Économétrie • Mécanique statistique • Jeu de hasard • Biomathématique • Mathématiques financières
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