Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)

Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
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En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, dit que pour tout nombre irrationnel x, il existe une infinité de rationnels h / k tels que

\left|x-\frac h k\right|<\frac1{\sqrt5\, k^2}.

Sommaire

Précisions

  • L'hypothèse d'irrationalité de x est indispensable.
  • L'ensemble des couples (h,k)\in\Z\times\N^* vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels h et k sont premiers entre eux l'est.
  • Les rationnels h / k qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel x (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
  • La constante √5 est optimale : pour x égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, √5 par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels h / k.

Démonstration

Optimalité de la constante √5.

Prenons Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): c=\frac\sqrt5\alpha

avec 0 < α < 1 et x=\frac{1+\sqrt5}2. Si \theta=\sqrt5k^2\left(\frac{\sqrt5+1}2-\frac hk\right), alors, on souhaite avoir | \theta | \leq \alpha. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve

h^2-hk-k^2=\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta\,. Si on considère P(h) = h2 − hk − k2 comme un polynôme en h, on a P(h)=0\Leftrightarrow h=\frac{(1\pm\sqrt5)k}2, mais, comme h et k sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour P(k). Donc |h^2-hk-k^2|\geq 1

1\le\left|\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta~\right|\le|\theta|+\frac{|\theta|^2}{5k^2}\le\alpha+\frac{\alpha^2}{5k^2}

Soit encore k^2<\frac{\alpha^2}{5(1-\alpha)}, ce qui donne un nombre fini de solutions pour k. Comme h doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.

Preuve du théorème proprement dit.

Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec \frac{a}{b} et \frac{a'}{b'} deux termes consécutifs tels que \frac{a}{b}<x< \frac{a'}{b'}. On peut vérifier que :

    • soit b' > \frac{b \sqrt{5}+1}{2}
    • soit b' < \frac{b \sqrt{5}-1}{2}

Si \omega = \frac{b'}{b}, on a \omega > \frac{\sqrt{5}+1}{2} ou \omega < \frac{\sqrt{5}-1}{2}. On peut montrer que 1+\omega ^{-2} > \sqrt5\omega^{-1}, d'où

\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right) > \frac{1}{\omega b^2} . Mais d'un autre côté, \frac{a'}{b'} - \frac{a}{b} < \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{b'^2} \right) , ce qui termine l'ébauche de démonstration.

Références

Articles connexes


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