- Théorème de Hurwitz (approximation diophantienne)
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En théorie des nombres, le théorème de Hurwitz sur les approximations diophantiennes, établi en 1891 par Adolf Hurwitz, dit que pour tout nombre irrationnel x, il existe une infinité de rationnels h / k tels que
.
Sommaire
Précisions
- L'hypothèse d'irrationalité de x est indispensable.
- L'ensemble des couples
vérifiant l'inégalité est infini si et seulement si le sous-ensemble de ceux pour lesquels h et k sont premiers entre eux l'est.
- Les rationnels h / k qui vérifient l'inégalité font partie des réduites de l'irrationnel x (ce résultat est établi dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne).
- La constante √5 est optimale : pour x égal par exemple au nombre d'or, si l'on remplace, dans la formule ci-dessus, √5 par n'importe quel nombre strictement plus grand, l'inégalité (même large) n'est vérifiée que par un ensemble fini de rationnels h / k.
Démonstration
- Optimalité de la constante √5.
Prenons Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): c=\frac\sqrt5\alpha
avec 0 < α < 1 et
. Si
, alors, on souhaite avoir
. En arrangeant les termes et en élevant au carré, on trouve
. Si on considère P(h) = h2 − hk − k2 comme un polynôme en h, on a
, mais, comme h et k sont entiers, ce n'est pas possible. Idem pour P(k). Donc
Soit encore
, ce qui donne un nombre fini de solutions pour k. Comme h doit vérifier l'inégalité citée dans l'énoncé du théorème, cela donne un nombre fini de nombres rationnels solutions.
- Preuve du théorème proprement dit.
Considérons une suite de Farey d'ordre N, avec
et
deux termes consécutifs tels que
. On peut vérifier que :
-
- soit
frac{b \sqrt{5}+1}{2}" border="0">
- soit
- soit
Si
, on a
frac{\sqrt{5}+1}{2}" border="0"> ou
. On peut montrer que
sqrt5\omega^{-1}" border="0">, d'où
frac{1}{\omega b^2} " border="0">. Mais d'un autre côté,
, ce qui termine l'ébauche de démonstration.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hurwitz's theorem (number theory) » (voir la liste des auteurs)
- (de) Adolf Hurwitz, « Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche », dans Mathematische Annalen, vol. 39, no 2, 1891, p. 279-284 [texte intégral]
- (en) G. H. Hardy et E. M. Wright (en), An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions] (2008) théorème 193 p. 209
- (en) William J. LeVeque (en), Topics in number theory, Addison-Wesley, 1956
Articles connexes
- Théorème d'approximation de Dirichlet (en)
- Nombre de Lagrange (en)
- Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
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