Base de Schauder

Base de Schauder

La notion de base de Schauder est une généralisation de celle de base (algébrique). La différence vient du fait que dans une base algébrique on considère des combinaisons linéaires finies d'éléments, alors que pour des bases de Schauder elles peuvent être infinies. Ceci permet d'étudier la nature géométrique des espaces de dimension infinie.

Les bases de Schauder furent introduites en 1927 par Juliusz Schauder[1],[2], qui explicita un exemple pour C([0,1]).

Sommaire

Définition

Soit X un espace de Banach sur \mathbb{R} ou \C. Une suite (e_n)_{n\in\N} d'éléments de X est une base de Schauder pour X si, pour tout x ∈ X, il existe une unique suite (a_n)_{n\in\N} de scalaires telle que

x =\lim_n\sum_{k=0}^n a_k e_k,

avec convergence en norme dans X. Les scalaires (a_n)_{n\in\N} sont appelés coordonnées de x.

Exemples et propriétés

En 1972, Stanisław Mazur offre à Per Enflo l'oie vivante qu'il avait promise en 1937 dans le Scottish Book à qui résoudrait le problème d'approximation.
  • Une base d'un espace vectoriel de dimension finie est une base de Schauder.
  • Si X = c0 ou X = \ell_p, 1 ≤ p < +∞, la suite canonique (e_n)_{n\in\N} définie par
e_n=(0,...,0,\stackrel{n}{1},0,...) est une base de Schauder.
  • Si l'espace X a une base de Schauder, alors il est séparable. Néanmoins, Per Enflo (en)[3] a montré qu'il existe des espaces de Banach séparables sans base de Schauder. Ajoutons qu'un théorème de Stanisław Mazur assure qu'un espace de Banach (de dimension infinie) possède toujours un sous-espace de dimension infinie ayant une base de Schauder.

Base inconditionnelle

Une base de Schauder (e_n)_{n\in\N} de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement. L'avantage de l'inconditionnalité est de pouvoir sommer les termes d'une série sans tenir compte de l'ordre.
Les bases canoniques de c0 ou \ell_p, 1 ≤ p < +∞, ainsi que les bases orthonormales d'un espace de Hilbert séparable sont inconditionnelles.
Pour 1<p< +∞, le système trigonométrique n'est pas une base inconditionnelle de Lp([0,2π]), sauf pour p=2.
Pour 1<p< +∞, le système de Haar forme une base inconditionnelle de Lp([0,1]), mais pas de L1([0,1]). En fait, l'espace L1([0,1]) n'admet pas de base inconditionnelle.
Des exemples d'espaces n'ayant pas de base inconditionnelle sont donnés par les espaces qui jouissent de la propriété de Daugavet. En effet, de tels espaces ne peuvent se plonger dans un espace ayant une base inconditionnelle[4]. Parmi ces espaces, citons L1([0,1]) ou C([0,1]).

Une question naturelle est de savoir si un espace de Banach de dimension infinie possède toujours un sous-espace de dimension infinie ayant une base inconditionnelle. Ce problème a été résolu par W.T. Gowers et B. Maurey[5] par la négative.

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, 1984 (ISBN 978-0-387-90859-5)
  • (en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Schauder basis » (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ (de) J. Schauder, "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen", Mathematische Zeitschrift, 26 (1927), p. 47-65
  2. ↑ (de) J. Schauder, "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems, Mathematische Zeitschrift, 28 (1928), p. 317-320
  3. ↑ (en) Per Enflo, « A counterexample to the appoximation property in Banach spaces », dans Acta Math. 130, 1973, p. 309-317
  4. ↑ (en) V. Kadets, R. Shvidkoy, G. Sirotkin et D. Werner, "Banach spaces with the Daugavet property", Trans. Amer. Math. Soc, 352 (2000), p. 855-873
  5. ↑ (en) W.T. Gowers, B. Maurey, "The unconditional basic sequence problem", J. Am. Math. Soc., 6 (1993), p. 851-874.

Article connexe

Base d'Auerbach


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Base de Schauder de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Base (algèbre linéaire) — Pour les articles homonymes, voir Base. En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, une base d un espace vectoriel est une famille de vecteurs de cet espace telle que chaque vecteur de l espace puisse être exprimé de manière… …   Wikipédia en Français

  • Base d'Auerbach — Une base d Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales. Sommaire 1 Définition 2 Propriétés 3 Motivation 4 …   Wikipédia en Français

  • Fonction de base — Cet article court présente un sujet plus développé dans : Analyse numérique et Base (algèbre linéaire). En analyse numérique, une fonction de base (ou basis function en anglais) est une fonction apparaissant dans une base fixée d un espace… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme du point fixe de Schauder — Théorème du point fixe de Schauder Le théorème de Schauder, prouvé en 1930 par le mathématicien polonais Juliusz Schauder est un puissant théorème du point fixe intervenant dans la démonstration de l existence de solutions à une équation… …   Wikipédia en Français

  • Théorème du point fixe de schauder — Le théorème de Schauder, prouvé en 1930 par le mathématicien polonais Juliusz Schauder est un puissant théorème du point fixe intervenant dans la démonstration de l existence de solutions à une équation différentielle. Énoncé Soit E un espace… …   Wikipédia en Français

  • Théorème du point fixe de Schauder — Le théorème du point fixe de Schauder, prouvé en 1930 par le mathématicien polonais Juliusz Schauder est un puissant théorème du point fixe intervenant dans la démonstration de l existence de solutions à une équation différentielle. Énoncé Soit E …   Wikipédia en Français

  • NORMÉS (ESPACES VECTORIELS) — L’analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s’est créée au début du XXe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862 1943) est amené à étudier des développements en… …   Encyclopédie Universelle

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Stanisław Mazur — Pour les articles homonymes, voir Mazur. Stanisław Mazur Stanisław Mazur. Naissance 1er janvi …   Wikipédia en Français

  • Histoire de l'analyse fonctionnelle — L analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l analyse qui étudie les espaces de fonctions. Sa naissance peut être datée à peu près à 1907, et, un siècle plus tard, elle est omniprésente dans toutes les… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”