Fonction indicatrice (analyse convexe)

Fonction indicatrice (analyse convexe)
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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction indicatrice d'une partie P d'un ensemble \mathbb{E} est la fonction qui s'annule sur P et prend la valeur +\infty sur le complémentaire de P dans \mathbb{E}.

Sommaire

Définition

La fonction indicatrice (ou simplement l'indicatrice) d'une partie P d'un ensemble \mathbb{E} est la fonction notée \mathcal{I}_P et définie par

\mathcal{I}_P:\mathbb{E}\to\R\cup\{+\infty\}:x\mapsto\mathcal{I}_P(x)= \left\{\begin{array}{lll} 0 & \mbox{si} & x\in P\\ +\infty & \mbox{si} & x\notin P. \end{array}\right.

Cette fonction diffère d'autres indicatrices d'ensemble rencontrées en analyse et son introduction en analyse convexe et en optimisation est motivée par les considérations suivantes.

  • En analyse convexe, il est utile que cette fonction soit convexe lorsque l'ensemble l'est. Si c'est le cas de la fonction indicatrice définie ici, ce n'est pas le cas de la fonction caractéristique utilisée en théorie de la mesure, laquelle obéit à d'autres motivations.
  • En optimisation, cette fonction indicatrice permet également de représenter un problème de minimisation d'une fonction f sur un ensemble P, par le problème de minimisation équivalent de f+\mathcal{I}_P sans contrainte.

Convexité et fermeture

Si P est une partie non vide d'un espace vectoriel \mathbb{E}, alors

  • \mathcal{I}_P est propre si et seulement si P\ne\varnothing ;
  • \mathcal{I}_P est propre et convexe si et seulement si P est non vide et convexe ;
  • \mathcal{I}_P est propre et fermée si et seulement si P est non vide et fermé.

Conjuguée

On suppose ici que \mathbb{E} est un espace euclidien.

La conjuguée de l'indicatrice d'une partie P de \mathbb{E} est sa fonction d'appui :

\mathcal{I}_P^*=\sigma_P.

En particulier, si K est un cône de \mathbb{E}, la conjuguée de \mathcal{I}_K est l'indicatrice de son cône dual négatif K −  :

\mathcal{I}_K^*=\mathcal{I}_{K^-}.

Sous-différentiel

On suppose ici que \mathbb{E} est un espace euclidien et que C est un convexe de \mathbb{E}.

Le sous-différentiel de \mathcal{I}_C est le cône normal NC de C :

\partial\,\mathcal{I}_C=N_C.

Bibliographie

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • J.-B. Hiriart-Urruty (1998). Optimisation et Analyse Convexe. Presses Universitaires de France, Paris.
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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