- Enveloppe supérieure
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En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions à valeurs réelles est la fonction dont la valeur en un point est le supremum (ou borne supérieure) des valeurs prises par ces fonctions en ce point.
Sommaire
Définition
Soient
un premier ensemble utilisé comme espace de définition de fonctions, I un second ensemble utilisé comme ensemble (quelconque) d'indices et
la droite réelle achevée. Pour tout
, on suppose donnée une fonction
. On peut alors introduire la fonction
définie pour
par
Cette fonction s'appelle l'enveloppe supérieure des fonctions fi. Autrement dit,
prend en
le supremum (ou borne supérieure) des valeurs prises par les fonctions fi en x.
La notation
est justifiée par le fait[1] que f n'est autre que la borne supérieure de la famille des fonctions fi, dans l'ensemble ordonné réticulé des applications de
dans
; l'ordre étant donné par [
]
[
pour tout
].
Propriétés
On note ci-dessous
l'épigraphe d'une fonction
.
Épigraphe, convexité, fermeture — Soit
une famille quelconque de fonctions définies sur un ensemble
à valeurs dans
. Alors
On en déduit que :
Il se peut cependant que l'enveloppe supérieure de fonctions convexes soit identiquement égale à
, même si les fonctions fi sont convexes et propres (par exemple l'enveloppe supérieure des fonctions constantes).
Annexes
Note
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, p. TG IV.21
Bibliographie
- (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
- (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
- (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
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