Cône (analyse convexe)

Cône (analyse convexe)
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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, un cône est une partie d'un espace vectoriel réel qui est stable pour la multiplication par un réel strictement positif. De manière plus précise, K est un cône si t\,x\in K chaque fois que t > 0 et x\in K. Un cône peut ou non contenir l'origine (d'où la nécessité de prendre des scalaires strictement positifs dans la définition ci-dessus). Cette définition du cône généralise la notion géométrique de cône de l'espace euclidien de dimension trois.

Beaucoup d'ensembles ont une structure conique : orthant positif, cône des matrices symétriques définies positives (ne contient pas l'origine) ou semi-définies positives (contient l'origine), etc. Les cônes apparaissent également dans diverses constructions : cône tangent à un ensemble, cône asymptotique d'un ensemble, enveloppe conique, etc.

Sommaire

Définitions

Notations

Soit \mathbb{E} une espace vectoriel réel (les scalaires sont les éléments de \R). On note

\begin{array}{rcl} \R_+&:=&\{t\in\R: t\geqslant0\},\\ \R_{++}&:=&\{t\in\R: t>0\}. \end{array}

Si \Lambda\subset\R et P\subset\mathbb{E}, on définit

\Lambda\,P:=\{\lambda\,x:\lambda\in\Lambda,~x\in P\}.

Cône

Cône — On dit qu'une partie K\subset\mathbb{E} est un cône si

\R_{++}\,K\subset K,

ce qui signifie que t\,x\in K chaque fois que t > 0 et x\in K.

Exemples de cônes :

  • les orthants positif \R_+^n:=\{x\in\R^n:x_i\geqslant0 pour tout i} et strictement positif \R_{++}^n:=\{x\in\R^n:x_i>0 pour tout i} ;
  • le simplexe ordonné R^n_{\leqslant}:=\{x\in\R^n:x_1\leqslant\cdots\leqslant x_n\} ;
  • le cornet \R^n_\triangledown:=\{x\in\R^n:x_1^2+\cdots+x_{n-1}^2\leqslant x_n^2,~ x_n\geqslant0\} ;
  • les ensembles de matrices symétriques définies positives, semi-définies positives, copositives ;
  • l'ensemble des fonctions réelles qui sont positives sur une partie donnée de leur ensemble de définition ;
  • le cône positif associé à un espace vectoriel ordonné (en).

Différents types de cônes :

  • on dit qu'un cône K est convexe, s'il est aussi convexe,
  • on dit qu'un cône K est convexe polyédrique, s'il est aussi convexe et polyédrique (donc une intersection d'un nombre fini de demi-espaces, voir ci-dessous),
  • on dit qu'un cône K est saillant, si K\cap(-K)\subset\{0\}, ce qui revient à dire qu'il ne contient pas de sous-espace vectoriel de dimension 1.

Cône convexe polyédrique

Cône convexe polyédrique — On dit qu'une partie K\subset\mathbb{E} est un cône convexe polyédrique si c'est un cône qui est convexe et polyédrique, ce qui revient à dire qu'il existe une application linéaire A:\mathbb{E}\to\R^m, avec m entier \geqslant1, telle que

K=\{x\in\mathbb{E}:A(x)\in\R^m_+\}.

Enveloppe conique

Une intersection de cônes convexes étant un cône convexe, on peut parler du plus petit cône convexe contenant une partie P\subset\mathbb{E}, qui est donc l'intersection de tous les cônes convexes contenant P. C'est ce que l'on appelle l'enveloppe conique de P (on devrait dire l'enveloppe conique convexe, mais en analyse convexe, le terme convexe est sous-entendu). C'est clairement un cône convexe contenant P.

Enveloppe et combinaison coniques — L'enveloppe conique d'une partie P\subset\mathbb{E} est le plus petit cône convexe contenant P. On la note

\operatorname{cone}\,P:=\bigcap\bigl\{K: K~\mbox{est un cône convexe contenant}~P\bigr\}.

On appelle combinaison conique de \mathbb{E}, un élément x de \mathbb{E} de la forme

x=\sum_{i=1}^mt_ix_i,

où m est un entier non nul, les ti sont des réels positifs et les vecteurs x_i\in \mathbb{E}.

Les notions d'enveloppe conique et de combinaison conique sont liées, comme le montre le résultat suivant.

Enveloppe et combinaison coniques — 

  1. Un ensemble est un cône convexe si, et seulement si, il contient toutes les combinaisons coniques de ses éléments.
  2. L'enveloppe conique de P est l'ensemble des combinaisons coniques de ses éléments :

\operatorname{cone}\, P= \left\{ \sum_{i=1}^mt_ix_i: m\in\mathbb{N}^*,~ t_i\in\mathbb{R}_+,~ x_i\in P \right\}.

Annexes

Articles connexes

Bibliographie

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cône (analyse convexe) de Wikipédia en français (auteurs)

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