- Cône (analyse convexe)
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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, un cône est une partie d'un espace vectoriel réel qui est stable pour la multiplication par un réel strictement positif. De manière plus précise, K est un cône si
chaque fois que t > 0 et
. Un cône peut ou non contenir l'origine (d'où la nécessité de prendre des scalaires strictement positifs dans la définition ci-dessus). Cette définition du cône généralise la notion géométrique de cône de l'espace euclidien de dimension trois.
Beaucoup d'ensembles ont une structure conique : orthant positif, cône des matrices symétriques définies positives (ne contient pas l'origine) ou semi-définies positives (contient l'origine), etc. Les cônes apparaissent également dans diverses constructions : cône tangent à un ensemble, cône asymptotique d'un ensemble, enveloppe conique, etc.
Sommaire
Définitions
Notations
Soit
une espace vectoriel réel (les scalaires sont les éléments de
). On note
0\}. \end{array} " border="0">
Si
et
, on définit
Cône
Cône — On dit qu'une partie
est un cône si
ce qui signifie que
chaque fois que t > 0 et
.
Exemples de cônes :
- les orthants positif
pour tout i} et strictement positif
0" border="0"> pour tout i} ;
- le simplexe ordonné
;
- le cornet
;
- les ensembles de matrices symétriques définies positives, semi-définies positives, copositives ;
- l'ensemble des fonctions réelles qui sont positives sur une partie donnée de leur ensemble de définition ;
- le cône positif associé à un espace vectoriel ordonné (en).
Différents types de cônes :
- on dit qu'un cône K est convexe, s'il est aussi convexe,
- on dit qu'un cône K est convexe polyédrique, s'il est aussi convexe et polyédrique (donc une intersection d'un nombre fini de demi-espaces, voir ci-dessous),
- on dit qu'un cône K est saillant, si
, ce qui revient à dire qu'il ne contient pas de sous-espace vectoriel de dimension 1.
Cône convexe polyédrique
Cône convexe polyédrique — On dit qu'une partie
est un cône convexe polyédrique si c'est un cône qui est convexe et polyédrique, ce qui revient à dire qu'il existe une application linéaire
, avec m entier
, telle que
Enveloppe conique
Une intersection de cônes convexes étant un cône convexe, on peut parler du plus petit cône convexe contenant une partie
, qui est donc l'intersection de tous les cônes convexes contenant P. C'est ce que l'on appelle l'enveloppe conique de P (on devrait dire l'enveloppe conique convexe, mais en analyse convexe, le terme convexe est sous-entendu). C'est clairement un cône convexe contenant P.
Enveloppe et combinaison coniques — L'enveloppe conique d'une partie
est le plus petit cône convexe contenant P. On la note
On appelle combinaison conique de
, un élément x de
de la forme
où m est un entier non nul, les ti sont des réels positifs et les vecteurs
.
Les notions d'enveloppe conique et de combinaison conique sont liées, comme le montre le résultat suivant.
Enveloppe et combinaison coniques —
- Un ensemble est un cône convexe si, et seulement si, il contient toutes les combinaisons coniques de ses éléments.
- L'enveloppe conique de P est l'ensemble des combinaisons coniques de ses éléments :
Annexes
Articles connexes
- Cône asymptotique
- Cône dual
- Cône tangent
Bibliographie
- (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
- (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
- (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
- (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
- les orthants positif
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