- Fonction d'appui
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En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé est la fonction convexe qui à une forme linéaire continue s sur associe la borne supérieure de s(P) dans .
Sommaire
Définition
La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé est la fonction notée σP et définie par
où est le dual topologique de et est la valeur de la forme linéaire continue s en x.
Exemples
La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.
- La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie P de est la fonction d'appui de P.
- La fonction d'appui de la boule unité de est la norme canonique du dual .
- Si est un espace euclidien et si f est une fonction convexe propre définie sur à valeurs dans , sa dérivée directionnelle en un point x dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de f en x (voir Formule du max).
Propriétés
Que l'ensemble P soit convexe ou pas, sa fonction d'appui est toujours convexe et fermée.
Sous-linéarité et fermeture — La fonction d'appui est sous-linéaire et fermée.
On note ci-dessous l'enveloppe convexe fermée de .
Ensemble inclus — Soient P1 et P2 des parties non vides de . Alors
On note ci-dessous l'adhérence de et son enveloppe convexe.
Invariance par prise d'enveloppe convexe et de fermeture — Soit P une partie non vide de . Alors
Règles de calcul
Somme pondérée d'ensembles — Pour , on suppose donnés des parties non vides Pi de et des scalaires . Alors
Transformation par une application linéaire — Soient un autre espace normé, une fonction linéaire continue, A * son adjointe et P une partie non vide de . Alors, pour tout :
σA(P)(h) = σP(A * h).
Bibliographie
- (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
- (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 978-3-540-42205-1.
- (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
Catégories :- Analyse
- Analyse convexe
- Fonction remarquable
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