- Fonction asymptotique
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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction asymptotique (ou fonction de récession) est une fonction associée à une fonction convexe f et définie à partir d'elle, qui a pour but de décrire son comportement à l'infini. On la note souvent
. On définit la fonction asymptotique
par son épigraphe qui est le cône asymptotique de l'épigraphe de f.
Le calcul et l'examen de la fonction asymptotique permet parfois de dire si une fonction convexe a un ensemble non vide et borné de minimiseurs ; des conditions nécessaires et suffisantes en termes de la fonction asymptotique pour cela se produise peuvent en effet être établies.
La notion de fonction asymptotique peut aussi se définir pour des fonctions non convexes[1].
Connaissances supposées : les bases de l'analyse et de l'analyse convexe (en particulier la notion de cône asymptotique).
Sommaire
Notations et définition
On suppose dans cet article que
est un espace vectoriel réel (les scalaires sont les éléments de
) de dimension finie. On note
l'ensemble des fonctions définies sur
à valeurs dans
qui sont convexes (i.e., leur épigraphe est convexe), propres (i.e., elles ne prennent pas la valeur
et ne sont pas identiquement égales à
) et fermées (i.e., leur épigraphe est fermé).
L'épigraphe
d'une fonction
est un convexe fermé non vide de
. On peut donc considérer son cône asymptotique
. On peut montrer que celui-ci est l'épigraphe d'une fonction qui est, par définition, la fonction asymptotique de f.
Fonction asymptotique — La fonction asymptotique d'une fonction
est la fonction
définie par
Certains auteurs[2] définissent la fonction asymptotique de fonctions convexes non nécessairement fermées ; cette légère extension est d'une utilité marginale.
Propriétés
La définition de la fonction asymptotique nous apprend peu de chose sur la manière de calculer cette fonction et sur sa signification. La propriété suivante fait le lien entre
, pour
, et le quotient différentiel
On sait que, si f est convexe,
est croissante et que la limite de q lorsque
est la dérivée directionnelle f'(x;d), parfois dite au sens de Dini. Le résultat suivant nous apprend, en particulier, que la limite de q lorsque
est la valeur en d de la fonction asymptotique.
Fonction asymptotique — Soit
. Alors
et
:
,
et est sous-linéaire.
Quelques remarques sur ce résultat.
- Comme
, la formule du point 1 s'écrit aussi
avec un quotient f(x + td) / t qui, contrairement au quotient différentiel, n'est pas nécessairement monotone en t. - L'utilisation de formule du point 1 ou de celle exposée ci-dessus est souvent le moyen le plus rapide de calculer la valeur de la fonction asymptotique en une direction d. Insistons sur le fait que la limite du quotient différentiel ne dépend pas du point x choisi dans le domaine de f.
- La formule précédente montre que si f a une asymptote dans la direction d,
en est la pente. Dans le cas contraire,
.
- Si
pour un t1 > 0, il en sera ainsi pour tout
, si bien que dans ce cas,
. Cette observation, conséquence du point 1, est aussi une conséquence du point 2, car la direction d considérée n'est pas dans
, donc pas non plus dans
, c'est-à-dire
.
- On n'a pas nécessairement égalité au point 2 de la proposition précédente. En effet, si
est l'exponentielle, on a
. Donc
, alors que
.
Après ces précisions sur la fonction asymptotique, voici un résultat qui montre l'utilité du concept pour déterminer l'existence d'un ensemble non vide et borné de minimiseurs. On note l'ensemble de sous-niveau
d'une fonction
de la manière suivante :
C'est un ensemble convexe, lorsque f est convexe. Le résultat suivant montre que, pour les fonctions de
, ces ensembles de sous-niveau ont tous le même cône asymptotique (s'ils sont non vides). En particulier, si l'un d'eux est borné non vide, ils sont tous bornés (éventuellement vides). Un de ces ensembles de sous-niveau est l'ensemble de ses minimiseurs :
La fonction asymptotique permet alors de donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que cet ensemble soit non vide et borné.
Ensembles de sous-niveau d’une fonction convexe — Soit
. Alors, pour tout
tel que
, on a
En particulier, les propriétés suivantes sont équivalentes :
tel que Nν(f) est non vide et borné,
est non vide et borné,
, Nν(f) est borné,
,
0" border="0">.
En pratique, pour montrer que f a un ensemble non vide et borné de minimiseurs (point 2), on utilise le point 4 : quelle que soit la direction non nulle d,
0" border="0">. Comme souvent en analyse convexe, on obtient une propriété globale (la bornitude de l'ensemble des minimiseurs) à partir de propriétés unidirectionnelles (la stricte positivité de la fonction asymptotique dans toutes les directions non nulles).
Aspects calculatoires
Voici un résultat permettant de calculer, dans certains cas, la fonction asymptotique d'une composition convexe de fonctions convexes[3] : la règle rappelle celle de la dérivation en chaîne.
Composition de fonctions — Supposons données deux fonctions
et
telles que
. On suppose que g est croissante et vérifie
0" border="0">. Alors
et pour tout
, on a
Dans ce résultat, on a adopté les conventions suivantes :
si
et
si
.
Exemples
Fonction log-barrière
Considérons la fonction log-barrière définie en
par
0\\ +\infty & \mbox{sinon.} \end{array}\right. " border="0">
On vérifie que
et qu'en
, on a
Fonction log-déterminant
Soient
l'espace vectoriel des matrices réelles symétriques d'ordre n,
le cône de
formé par les matrices semi-définies positives et
le cône de
formé par les matrices définies positives.
On considère la fonction log-déterminant définie en
par
où la notation
signifie que
. On vérifie que
et qu'en
, on a
où la notation
signifie que
.
Annexes
Notes
- Voir Auslender et Teboulle (2003).
- C'est le cas de Rockafellar (1970), pas celui de Hiriart-Urruty et Lemaréchal (1993).
- (en) A. Auslender, R. Cominetti, M. Haddou (1997). Asymptotic analysis for penalty and barrier methods in convex and linear programming. Mathematics of Operations Research, 22, 43–62.
Articles connexes
Bibliographie
- (en) A. Auslender, M. Teboulle (2003). Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalitites. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York.
- (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
- (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
- (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
- (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
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