Intérieur relatif

Intérieur relatif

En mathématiques et plus précisément en topologie, l'intérieur relatif est l'intérieur d'un ensemble, relativement à son enveloppe affine. Cette notion est couramment utilisée en analyse convexe et s'applique à des parties d'ensembles convexes, par exemple ses faces, qui n'ont pas nécessairement d'intérieur dans l'espace vectoriel ambiant.

Sommaire

Intérieur relatif

Dans un espace vectoriel topologique \mathbb{E}, l'intérieur relatif d'une partie non vide P est son intérieur dans son enveloppe affine, munie de la topologie induite de celle de \mathbb{E}. On le note

\operatorname{intr}\,P\qquad\mbox{ou}\qquad\operatorname{ri}\,P.

La notation « ri » vient de l'anglais relative interior. De manière plus précise, on a

\operatorname{intr}\,P:=\{x\in P:  il existe un voisinage V de x dans \mathbb{E} tel que (V\cap\operatorname{aff}\, P)\subset P\}.

Cette notion est souvent utile en analyse convexe, par exemple pour désigner l'intérieur relatif d'une face d'un polyèdre convexe, alors que l'intérieur d'une face est le plus souvent vide.

Frontière relative

Dans un espace vectoriel topologique \mathbb{E}, la frontière relative d'une partie non vide P est l'ensemble des points de son adhérence qui ne sont pas dans son intérieur relatif, c'est-à-dire l'ensemble

\overline{P}\setminus\operatorname{intr}\,P.

Critère d'intériorité relative

Le lemme suivant est fondamental pour traiter les questions d'intériorité relative d'un ensemble convexe C d'un espace vectoriel de dimension finie \mathbb{E}.

Lemme d'intériorité relative pour un convexe — Soient C un convexe d'un espace vectoriel de dimension finie \mathbb{E}, x\in\operatorname{intr}\,C, y\in\overline{C} et t\in{[0,1[}. Alors (1-t)x+ty\in\operatorname{intr}\,C.

On en déduit le critère d'intériorité relative suivant.

Critère d'intériorité relative pour un convexe — Soient C un convexe d'un espace vectoriel de dimension finie \mathbb{E} et x\in\mathbb{E}. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • x\in\operatorname{intr}\,C,
  • pour tout y\in\operatorname{aff} C, il existe un t > 1 tel que (1{-}t)y+tx\in C,
  • pour tout y\in C, il existe un t > 1 tel que (1{-}t)y+tx\in C.

Propriétés

L'intérieur relatif d'un convexe non vide est un convexe non vide. En particulier, l'intérieur relatif d'un point est ce point lui-même (qui est bien un ouvert dans l'espace affine réduit à ce point).

Convexité de l'intérieur relatif d'un convexe — Soit C un convexe non vide d'un espace vectoriel de dimension finie. Alors

  • son intérieur relatif \operatorname{intr}\,C est un convexe non vide,
  • \operatorname{aff}\, (\operatorname{intr}\,C)=\operatorname{aff}\,C.

Voici quelques propriétés permettant de calculer des intérieurs relatifs.

Calcul d'intérieur relatif de convexes — Soient \mathbb{E}, \mathbb{E}_1, \mathbb{E}_2 et \mathbb{F} des espaces vectoriels de dimension finie et A:\mathbb{E}\to \mathbb{F} une application linéaire.

  1. Si C_1\subset \mathbb{E}_1 et C_2\subset \mathbb{E}_2 sont deux convexes, alors
    \operatorname{intr}\,(C_1\times C_2)=\operatorname{intr}\,C_1\times \operatorname{intr}\,C_2.
  2. Si (C_i)_{i\in I} est une famille de convexes de \mathbb{E} telle que \cap_{i\in I}\,\operatorname{intr}\,C_i\ne\varnothing, alors
    \operatorname{intr}\,\left(\cap_{i\in I}C_i\right)\subset\cap_{i\in I}\operatorname{intr}\,C_i,
    avec égalité si I est fini.
  3. Si C\subset \mathbb{E} est convexe, alors
    \operatorname{intr}\,(A(C))=A(\operatorname{intr}\,C).
  4. Si C\subset \mathbb{F} est convexe et si l'image réciproque A^{-1}(\operatorname{intr}\,C)\ne\varnothing, alors
    \operatorname{intr}\,(A^{-1}(C))=A^{-1}(\operatorname{intr}\,C)
  5. Si C\subset \mathbb{E} est convexe et \alpha\in\mathbb{R}, alors
    \operatorname{intr}\,(\alpha\,C)=\alpha\,(\operatorname{intr}\,C)
  6. Si C_1\subset \mathbb{E} et C_2\subset \mathbb{E} sont deux convexes, alors
    \operatorname{intr}\,(C_1+C_2)=\operatorname{intr}\,C_1+\operatorname{intr}\,C_2.

Annexes

Article connexe

Bibliographie

  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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