- Fonction marginale
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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction marginale associée à une fonction de deux variables
est la fonction dont la valeur en x est obtenue en minimisant φ(x,y) en y. Dans certains contextes, elle est dénommée fonction valeur.
Cette fonction apparaît lorsqu'on étudie la perturbation de problème d'optimisation, dans la dualisation de problème d'optimisation, dans des techniques de construction de fonction comme l'inf-convolution, dans la définition de la régularisée de Moreau-Yosida, etc. Le concept est généralisé par l'inf-image sous une application linéaire.
Sommaire
Définition
Soient
et
deux ensembles et
une fonction. La fonction marginale de φ est la fonction
dont la valeur en
est la borne inférieure de
dans
, ce que l'on note :
Notations
On note
le domaine (effectif) d'une fonction
, définie sur un ensemble
,
l'ensemble des fonctions définies sur un espace vectoriel
qui sont convexes (i.e., leur épigraphe est convexe) et propres (i.e., elles ne prennent pas la valeur
et ne sont pas identiquement égales à
),
, où
est un espace vectoriel topologique, la partie de
formée des fonctions qui sont aussi fermées (i.e., leur épigraphe est fermé),
l'intérieur d'une partie P d'un espace vectoriel topologique
et
son intérieur relatif.
Convexité
On suppose dans cette section que
et
sont des espaces vectoriels.
Convexité d'une fonction marginale — Dans le cadre précisé ci-dessus :
- f est convexe, si φ est convexe,
, si
et si f ne prend pas la valeur
.
La fonction marginale est une enveloppe inférieure de fonctions convexes
, paramétrées par
. On pourrait donc, à juste titre, s'étonner de sa convexité. C'est évidemment la convexité conjointe sur
qui permet d'avoir cette propriété.
Sous-différentiel
On suppose ici que, dans la définition de la fonction marginale,
et
sont deux espaces euclidiens. On munit l'espace produit
d'une structure euclidienne en y définissant le produit scalaire
Le sous-différentiel de f dépend de celui de φ qui est supposé calculé pour ce produit scalaire.
Sous-différentiel d'une fonction marginale — Dans le cadre défini ci-dessus, supposons que
et que sa fonction marginale
. Si
et f(x) = φ(x,y) (l'infimum est atteint en
), alors
Ce résultat appelle quelques remarques.
- Il faut bien noter que, si la borne inférieure
est atteinte en plusieurs y,
ne dépend pas du minimiseur y choisi.
On a un autre éclairage sur cette indépendance par rapport à y en observant que φ est constante sur l'ensemble M(x): = {(x,y): y minimise, si bien que
est aussi constant sur l'intérieur relatif de M(x). Cependant
peut varier lorsque (x,y) passe de l'intérieur relatif de M(x) à son bord. C'est le cas de la fonction définie par φ(x,y) = max(0, | y | − 1), dont la fonction marginale est nulle :
- D'autre part, si φ est différentiable en (x,y), où y est un minimiseur quelconque de
, alors f est également différentiable en x (car son sous-différentiel est un singleton) et on a
C'est comme s'il y avait un minimiseur unique y(x), fonction différentiable de x, que l'on écrivait f(x) = φ(x,y(x)) et que l'on calculaitpar une dérivation en chaîne :
On retrouverait le résultat ci-dessus en observant quecar y minimise
.
- Le fait que
ait un minimum unique n'implique nullement la différentiabilité de la fonction marginale en x. Par exemple, f est la fonction marginale de φ définie par φ(x,y) = f(x) + y2. Cette dernière a un minimum y = 0 unique en y quel que soit x, alors que f peut ne pas être différentiable.
Bibliographie
- (en) J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
- (en) J.-B. Hiriart-Urruty, Cl. Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
- (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
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