Équations d'Euler

Équations d'Euler
Page d'aide sur l'homonymie Ne pas confondre avec l'équation d'Euler pour un polyèdre et diverses autres équations nommées d'après Euler.

L'équation d'Euler (établie par Leonhard Euler en 1755) s'applique dans le cas d'un fluide parfait, c’est-à-dire un fluide non visqueux et sans conductivité thermique. Le fluide peut être incompressible ou compressible (à condition, dans ce dernier cas, de se placer dans l'hypothèse de vitesses faibles[réf. nécessaire]) . Complétée par d'autres équations tirées de la dynamique des fluides parfaits, elle permet de caractériser le mouvement du fluide, en calculant, notamment, sa pression et sa vitesse.

Une intégration le long d'une ligne de courant de cette équation permet d'obtenir l'équation de Bernoulli.

L'équation d'Euler dérive du principe fondamental de la dynamique, \scriptstyle \sum \vec F = m.\vec a, appliqué à une particule fluide (forme locale) :

Sur les autres projets Wikimedia :

- \overrightarrow{\nabla p} + \rho.\overrightarrow{g} = \rho.\overrightarrow{a} = \rho \frac{\mathrm d\overrightarrow v}{\mathrm dt}.

  • Le terme \textstyle\rho.\vec{g} correspond aux forces de pesanteur par unité de volume (N.m-3) subies par la particule fluide.
  • Le terme \scriptstyle - \vec{\nabla p}, aussi noté \scriptstyle - \vec{\rm{grad}}\, p correspond aux forces par unité de volume (N.m-3) de pression sur les surfaces de la particule.
  • Le terme \textstyle\rho \frac{\rm d\vec v}{\rm dt} correspond à la variation de la quantité de mouvement par unité de volume de la particule.


Dans le cas où la description du problème est une description eulérienne, on peut alors écrire :

- \overrightarrow{\nabla p} + \rho\overrightarrow{g} = \rho \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t} = \rho \left( \frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v}\right) ;

ou encore :

- \overrightarrow{\nabla p} + \rho\overrightarrow{g} = \rho \left( \frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t} + \frac 1 2 \nabla\overrightarrow{v}^2 + (\overrightarrow{\nabla}\wedge \overrightarrow{v})\wedge\overrightarrow{v} \right) .
v · Mécanique des fluides Crystal pipe.png
Fluides Fluide caloporteur • Fluide de Stokes • Fluide hydraulique • Fluide incompressible • Fluide parfait • Fluide électrorhéologique
Écoulements Écoulement complexe • Écoulement de Couette • Écoulement de Poiseuille • Écoulement incompressible • Écoulement laminaire • Écoulement torrentiel • Écoulement polyphasique
Équations Équations de Navier-Stokes • Théorème de Bernoulli •Équation de Darcy-Weisbach • Équation de Prony • Équation de Rankine-Hugoniot • Équation de Schlichting • Écoulement de Stokes • Équations d'Euler • Équation de continuité • Équations primitives atmosphériques
Nombres Nombre d'Archimède • Nombre capillaire • Nombre d'Ekman • Nombre d'Ellis • Nombre de Bond • Nombre de Bulygin • Nombre de Cameron • Nombre de Fedorov • Nombre de Froude • Nombre de Galilée • Nombre de Grashof • Nombre de Goucher • Nombre de Hartmann • Nombre de Hedström • Nombre de Hersey • Nombre de Karlovitz • Nombre de Kutateladze • Nombre de Lewis • Nombre de Mach • Nombre d'Ohnesorge • Nombre de Prandtl • Nombre de Rayleigh • Nombre de Reech • Nombre de Reynolds • Nombre de Rossby • Nombre de Rouse • Nombre de Schmidt • Nombre de Stewart • Nombre de Strouhal • Nombre de Taylor • Nombre de Weber

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