- Équations de Hamilton-Jacobi
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En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.
Sommaire
Transformations canoniques
Une transformation canonique est une transformation
de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques :Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \dot \vec q = \frac{\partial H}{\partial \vec p}~~\rightarrow ~~ \dot \vec Q = \frac{\partial K}{\partial \vec P}
Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \dot \vec p = -\frac{\partial H}{\partial \vec q}~~\rightarrow ~~ \dot \vec P = -\frac{\partial K}{\partial \vec Q}
(On note
où 
)On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :
Fonctions génératrices
L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :
Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): S[\vec q,\vec p]=\int dt~ L(\vec q,\dot \vec q,t)=\int dt~ (\vec p \cdot \dot \vec q - H(\vec q,\vec p,t)) = \int dt ~ f(\dot \vec q,\vec q,\vec p,t)
Or les équations canoniques vérifiées par
impliquent que f vérifie les équations d'Euler-Lagrange :Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \frac {d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot \vec q} \right) -\frac{\partial f}{\partial \vec q}=\frac {d}{dt} \left( \vec p \right) + \frac{\partial H}{\partial \vec q}= \dot \vec p - \dot \vec p =\vec 0
Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \frac {d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot \vec p} \right) -\frac{\partial f}{\partial \vec p}=\frac {d}{dt} \left( \vec 0 \right)- \left( \dot \vec q - \frac{\partial H}{\partial \vec p} \right)= -\dot \vec q + \dot \vec q =\vec 0
On a donc stationnarité de l'action si et seulement si vérifie les équations canoniques, et de même pour 
. On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \delta \left( \int dt~(\vec p \cdot \dot \vec q - H)\right) = 0
Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \delta \left( \int dt~(\vec P \cdot \dot \vec Q - K)\right) = 0
d'où la condition dite d'invariance :Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): (\vec p \cdot \dot \vec q - H) - (\vec P \cdot \dot \vec Q - K) = \frac{dF}{dt}(\vec q,\vec p,\vec Q,\vec P,t)
Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation.Fonction principale de Hamilton, Equation de Hamilton-Jacobi
On note N le nombre de degrés de liberté du système,
représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation 
. On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables 
, on a une fonction génératrice 
que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de , il faut effectuer une transformation de Legendre à F : 
On a alors Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \frac{dS}{dt}=\frac{dF}{dt}+\dot \vec Q \cdot \vec P + \vec Q \cdot \dot \vec P =\frac{\partial S}{\partial \vec q}\cdot \dot\vec q + \frac{\partial S}{\partial \vec P} \cdot \dot \vec P + \frac{\partial S}{\partial t}
et la condition d'invariance devientErreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \left( \vec p -\frac{\partial S}{\partial \vec q}\right) \cdot \dot \vec q + \left( \vec Q -\frac{\partial S}{\partial \vec P} \right)\cdot \dot \vec P +\left( -H +K -\frac{\partial S}{\partial t} \right) = 0
On a choisi comme variables indépendantes, on peut donc identifier et on obtient :
Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation
à partir de la donnée de la fonction , et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :
Application
Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement, par exemple en imposant K=0 on a simplement Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \dot \vec Q =\vec 0
et Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \dot \vec P =\vec 0
, soit
et 
constants. Il reste alors a déterminer 
pour obtenir la solution 
, or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles
Remarque
Dans ce cas, la condition d'invariance devient Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \vec p \cdot \dot \vec q-H=\frac{dS}{dt}~~\Rightarrow~~S=\int L~dt , la fonction génératrice S est alors simplement l'action du système.
Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique
, on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :
d'où
et l'équation à résoudre est simplifiée :
Voir aussi
Articles connexes
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