Principe fondamental de la dynamique

Le principe fondamental de la dynamique, ou PFD, dérive de la deuxième loi de Newton. On parle aussi parfois de la relation fondamentale de la dynamique, ou RFD. On peut également le voir comme découlant du principe des puissances virtuelles qui en est une formulation duale.

Sommaire

1 Principe fondamental de la dynamique en translation
- 1.1 Théorème de la quantité de mouvement
- 1.2 Principe de d'Alembert
2 Principe fondamental de la dynamique en rotation
3 Dynamique avec les torseurs
4 Référentiels non-galiléens
5 Démonstration (mécanique quantique)
6 Voir aussi
- 6.1 Articles connexes
- 6.2 Bibliographie

Principe fondamental de la dynamique en translation

Il s'agit de la deuxième loi de Newton. Elle s'énonce ainsi :

Soit un corps de masse $m$ constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse $m$ .

Ceci est souvent récapitulé par l'équation :

$\vec{a} = \frac{1}{m} \sum{\vec{\mathrm{F}}_i}$

— ou —

$\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = m \vec{a}$

où

$\vec{\mathrm{F}}_i$ désigne les forces extérieures exercées sur l'objet,
$m$ est sa masse inertielle (a priori différente de la masse gravitationnelle, voir principe d'équivalence), et
$\vec{a}$ correspond à l'accélération de son centre d'inertie $G$ .

Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé). Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

Théorème de la quantité de mouvement

Une forme plus générale du PFD, valable également si la masse change au cours du temps est

La force est égale aux changements de quantité de mouvement par unité de temps.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :

$\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}$

où

$\vec{\mathrm{F}}_i$ désigne les forces exercées sur l'objet,
$\vec{p} = m \vec{v}$ est la quantité de mouvement, égale au produit de sa masse $m$ et de sa vitesse $\vec{v}$ .

Ce théorème est appelé théorème de la quantité de mouvement. Pour un solide de masse fixe en mécanique newtonienne, il est équivalent à la deuxième loi de Newton.

Cette forme est intéressante dans le cas où la masse n'est pas constante, comme par exemple dans le cas de la propulsion par réaction.

Principe de d'Alembert

On peut aussi écrire le PFD sous la forme :

$\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} - m \vec{a} = \vec{0}$ .

Cela permet une traduction graphique du PFD (voir l'article Statique graphique) : si l'on met les vecteurs forces bout à bout, on obtient un polygone ouvert (puisque la somme des forces est non nulle) ; le vecteur $- m \vec{a}$ est le vecteur qui ferme le polygone.

On retrouve cette forme en se plaçant dans le référentiel de l'objet étudié : si l'accélération est non nulle, le référentiel n'est plus galiléen (voir ci-après), on introduit donc la force d'inertie

$\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = - m \vec{a} = - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}$

et l'on retrouve le principe fondamental de la statique (le solide étant immobile dans son propre référentiel)

$\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} + \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = \vec{0}$ .

L'écriture du PFD sous cette forme facilite la résolution de certains problèmes.

Ceci constitue un cas particulier du principe de d'Alembert : puisque

$\vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \vec{0}$ ,

a fortiori

$\int_{\mathrm{C}} \left ( \vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} \right ) \cdot \delta \vec{r}(x)\,\mathrm dx = \vec{0}$ .

Principe fondamental de la dynamique en rotation

En mécanique du solide, on considère également la rotation d'un solide. Le principe fondamental de la dynamique comporte alors un « volet » sur la rotation :

Soit un corps de moment d'inertie constant J_Δ par rapport à l'axe de rotation (Δ), l'accélération angulaire subie par ce corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la somme des moments des forces qu'il subit exprimés au point A, en projection sur (Δ), et inversement proportionnelle à son moment d'inertie.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation, pour un axe de rotation (Δ) passant par A :

$\vec{\alpha} = \frac{1}{\mathrm{J}_\Delta} \sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i) }$ ,

— ou —

$\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) = \mathrm{J}_\Delta \vec{\alpha}$ ,

— ou encore —

$\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) - \mathrm{J}_\Delta \vec{\alpha} = \vec{0}$ .

Dynamique avec les torseurs

On peut résumer le PFD en translation et en rotation avec les torseurs d'action et dynamique :

$\sum \{ \mathcal{T}_{\mathrm{ext}} \} = \{ \mathcal{D}\}$ .

Référentiels non-galiléens

Article détaillé : force d'inertie.

Notons enfin qu'il est possible de reformuler de manière plus large la deuxième loi de Newton dans un référentiel non galiléen en ajoutant des termes dans l'équation qui sont homogènes à des forces, et qu'on appelle souvent « forces d'inertie ». Ces termes ne sont pas des forces au sens usuel mais des termes correctifs d'origine géométrique et cinématique.

Démonstration (mécanique quantique)

Les postulats de la mécanique quantique permettent de retrouver la deuxième loi de Newton. En partant du théorème d'Ehrenfest, qui affirme que l'évolution temporelle de la valeur moyenne $\langle a \rangle = \langle \psi | A | \psi \rangle$ d'une observable $A$ est donné par l'équation :

$\frac{\mathrm d \langle a \rangle}{\mathrm dt} = \frac{1}{i \hbar} \langle \psi |[ A,H] | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial A}{\partial t} | \psi \rangle$

On applique ce théorème aux observables position et impulsion, dans le cas d'un hamiltonien $H = \frac{P^2}{2m} + V(R,t)$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle r\rangle = \frac{1}{m} \langle p \rangle$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla V\rangle$

(ces relations sont démontrées en détail dans l'article théorème d'Ehrenfest).

En combinant les deux équations obtenues, on a

$m \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\langle r\rangle = \langle -\nabla V\rangle$

Cette relation correspond bien à l'équation de Newton si $\langle -\nabla V\rangle$ représente la force prise au centre du paquet d'onde de la particule étudiée, c'est-à-dire si $\langle \nabla V\rangle = [\nabla V]_{\mathbf r = \langle r\rangle }$

Or,

$\begin{align} \langle \nabla V\rangle & = \langle \psi | \nabla V | \psi \rangle \\ \ & = \int \mathrm d^3 \mathbf r \;\psi^* \;\nabla V \;\psi \\ \ & = \int \mathrm d^3 \mathbf r \; |\psi|^2 \;\nabla V \\ \ & \simeq [\nabla V]_{\mathbf r = \langle r\rangle } \;\int \mathrm d^3 \mathbf r \; |\psi|^2 \\ \ & = [\nabla V]_{\mathbf r = \langle r\rangle } \end{align}$

si le paquet d'onde est suffisamment localisé, ce qui est le cas à l'échelle macroscopique. On a donc bien démontré la deuxième loi de Newton à partir des postulats de la mécanique quantique, et en particulier à partir de l'équation de Schrödinger (à travers le théorème d'Ehrenfest).

Voir aussi

Galilée

Bibliographie

C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]

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Catégorie :

Dynamique

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