Transformation contraco

Transformation contraco

Transformation contraco

On obtient (ou transforme) les composantes contravariantes d'un tenseur en composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

\displaystyle x_i = \sum_j g_{ij} x^j

Étant donné que gij est la matrice inverse de gij (démonstration ici), on a

\displaystyle x^i = \sum_j g^{ij} x_j

Remarques

  • Avec la convention d'Einstein, on sous-entend le symbole Σ dès qu'un indice figure à la fois en haut et en bas. On écrit ainsi xi = gijxj, et xi = gijxj.
  • Il existe une convention plus radicale utilisée par certains auteurs suivant laquelle on omet également le tenseur métrique dès lors qu'il intervient dans une contraction. Ainsi, à la place de aibi = gijaibj, on écrit aibi.
  • La transformation contraco peut être appliquée à plusieurs indices d'un tenseur d'ordre quelconque. Par exemple aij = gikgjlakl.
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