- Transformation d'Abel
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Sommation par parties
La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.
Sommaire
Méthode
Soient deux suites
et
, avec
. On considère la série suivante :
Si on pose
,
alors pour tout n>0,
On obtient finalement l'égalité suivante :Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de
.
Similitude avec l'intégration par parties
La formule de l'intégration s'écrit :
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (devient
) et à dériver l'autre (
devient
).
La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée (
devient
) et l'autre est différenciée (
devient
).
On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.
Applications
On se place par la suite dans le cas où
, car sinon on sait que
est grossièrement divergente.
Si
est bornée par un réel M et que
est une série absolument convergente, alors la série
est convergente.
La somme de la série vérifie par ailleurs l'inégalité :
Exemples
et
et
On sait que la sérieconverge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
converge.
NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.et
(Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
Comme précédemmentconverge absolument, et
est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
Par conséquentconverge.
- La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.
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