Inverse de la matrice du tenseur metrique

Inverse de la matrice du tenseur metrique

Inverse de la matrice du tenseur métrique

Étant donné un système de coordonnées, la matrice du tenseur métrique en composantes contravariantes gij est la matrice inverse de la matrice du tenseur métrique en composantes covariantes :

g^{ij}g_{jk} = \delta^i_k.

Autrement dit, le tenseur métrique est son propre inverse.

Démonstration

On a défini (cf. transformation contraco) le tenseur métrique inverse (g − 1)ij comme l'inverse de gij. En faisant intervenir deux fois le tenseur métrique, on obtient son expression covariante

\bigl(g^{-1}\bigr)_{ij} = g_{ik} g_{jl} \bigl(g^{-1}\bigr)^{kl} = g_{ik} g_{jl} \bigl(g^{-1}\bigr)^{lk} = g_{ik} \delta^k_j = g_{ij}.

∎Le tenseur métrique est donc son propre inverse, c.q.f.d.

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