Système duodécimal

Un système duodécimal est un système de numération de base 12.

En base 12, on utilise les 10 chiffres de 0 à 9, suivis les lettres A et B, respectivement pour 10 et 11. On utilise parfois aussi à la place de ces dernières, respectivement, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), ou bien T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), ou encore X (chiffre romain) pour dix et Y (suit la lettre X) pour onze.

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base 12 est meilleur que le système décimal tant d'un point de vue mathématique que pour d'autres côtés pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de 12, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

L'utilisation d'un système en base 12 n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base 10, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions^{[réf. nécessaire]}.

Historiquement, le nombre 12 a été utilisé par de nombreux peuples. En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim^[1]) unités^[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze :

• duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
• duodecas : douzaine ;
• duodecennium : période de douze ans;
• duodecemvir : collège de douze magistrats,
• etc.

Il est reconnu^{[réf. nécessaire]} que l'observation de 12 lunaisons complètes dans une année explique l'universalité de ce nombre dans toutes les cultures. Des exemples de cet usage sont les 12 mois de l'année, les 12 heures d'une montre, les 12 divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse, etc.). Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour compter les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze base de cette numération.

L'avantage de divisions qui tombent juste explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (12 pouces dans un pied, 12 pence dans un shilling, 12 deniers dans un sou, 12 pièces dans une douzaine, 12 douzaines dans une grosse, 12 grosses dans une grande grosse, etc. etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling depuis 1971.

        15  une douzaine et cinq
        3E  trois douzaines et onze
       XE7  dix grosses onze douzaines et sept
      11E0  une grande grosse une grosse onze douzaines (= l'année 2000)
    36 X17  trois douzaines et six grandes grosses dix grosses une douzaine et sept

Fractions

Certaines fractions s'expriment de manière très simple dans le système duodécimal, comme par exemple :

1 / 2 = 0,6

1 / 3 = 0,4

1 / 4 = 0,3

1 / 6 = 0,2

1 / 8 = 0,16

1 / 9 = 0,14

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (X = dix, E = onze) :

1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)

1 / 7 = 0,186X35 186X35 avec chiffres périodiques

1 / X = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)

Quelle que soit la base utilisée, une fraction peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Ainsi, en base 10 (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

,

,

et

=

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme 0,125, 0,05, et 0,005 respectivement. Cependant,

et

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

Dans le système duodécimal (= 2×2×3) :

1 / 8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;

1 / 20 et 1 / 500 nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1 / 3 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule ;

1 / 7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en base 10.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé. Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les 12 mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs.

Notes

v · Base de numération positionnelle
1 à 9	unaire (1), binaire (2), trinaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9)
10 à 60	décimal (10), duodécimal (12), tridécimal (13), hexadécimal (16), vicésimal (20), sexagésimal (60)
Autre base	base d'or (φ)
Notions	base • chiffre • nombre • notation positionnelle • numération

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