Duodécimal

Le système duodécimal est un système de numération de base 12.

En base 12, on utilise les 10 chiffres de 0 à 9, suivis les lettres A et B, respectivement pour 10 et 11. On utilise parfois aussi à la place de ces dernières, respectivement, les lettres α (alpha minuscule) et β (bêta minuscule), ou bien T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven), ou encore X (chiffre romain) pour dix.

Il existe deux organismes la Dozenal Society of America et la Dozenal Society of Great Britain qui font la promotion du système duodécimal en affirmant qu'un système en base 12 est meilleur que le système décimal tant d'un point de vue mathématique que pour d'autres côtés pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de 12, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

L'utilisation d'un système en base 12 n'est pas courant, pourtant il existe un exemple pratique utilisé dans le langage du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base 10, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions^{[réf. nécessaire]}.

Historiquement, le nombre 12 a été utilisé par de nombreux peuples. En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim^[1]) unités^[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze :

• duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
• duodecas : douzaine ;
• duodecennium : période de douze ans;
• duodecemvir : collège de douze magistrats,
• etc.

Il est reconnu^{[réf. nécessaire]} que l'observation des 13 phases de pleine lune dans une année explique l'universalité de ce nombre dans toutes les cultures. Des exemples de cet usage sont les 12 mois de l'année, les 12 heures d'une montre, les 12 divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie, les 12 signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Dans de nombreux langages européens, tels l'anglais, le français et l'allemand, l'usage de noms spéciaux pour 11 et 12 plutôt que leur nom représenté par le système décimal (douze, twelve, zwölf) peut faciliter le comptage en base 12. Il est beaucoup utilisé dans le commerce (douzaine, grosse, etc.). Certaines population (Moyen-Orient, principalement) connaissent ce système de longue date en comptant les phalangettes de la main en omettant celles du pouces (qui est utilisé pour compter les phalangettes des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze base de cette numération.

En ayant l'avantage d'être un diviseur simple dans les fractions peut expliquer pourquoi les Britanniques continuent d'utiliser 12 pouces dans un pied, 16 onces dans une livre, 12 pence dans un shilling^[3], 12 pièces dans une douzaine, 12 douzaines dans une grosse, 12 grosses dans une grande grosse, etc.

Duodécimal	Equivalent en décimal
10 : douze (ou une douzaine)	12
100 : une grosse	122 = 144
1 000 : une grande grosse	123 = 1 728
10 000 : douze grandes grosses	124 = 20 736
100 000	125 = 248 832
1 000 000	126 = 2 985 984
0,1	1/12
0,01	1/144

        15  une douzaine et cinq
        3E  trois douzaines et onze
       XE7  dix grosses onze douzaines et sept
      11E0  une grande grosse une grosse onze douzaines (= l'année 2004)
    36 X17  trois douzaines et six grandes grosses dix grosses une douzaine et sept

Fractions

Le système duodécimal a l'avantage d'avoir des résultats de fractions très simples :

1 / 2 = 0,6

1 / 3 = 0,4

1 / 4 = 0,3

1 / 6 = 0,2

1 / 8 = 0,16

1 / 9 = 0,14

ou compliqués (X = dix, E = onze) :

1 / 5 = 0,2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,25)

1 / 7 = 0,186X35 186X35 avec chiffres périodiques

1 / X = 0,1 2497 2497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0,125)

Comme expliqué dans les décimales répétitives, chaque fois qu'une fraction est écrite en notation décimale, quelle que soit sa base, la fraction peut être exprimée exactement, si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des nombres premiers de la base adoptée.

Ainsi, en base 10 (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

,

,

et

=

peuvent être exprimées exactement sous forme décimale comme 0,125, 0,05, et 0,005 respectivement. Cependant,

et

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

Dans le système duodécimal (= 2×2×3),

1 / 8 est exact ;

1 / 20 et 1 / 500 ont des décimales périodiques parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1 / 3 est exact ;

1 / 7 est périodique, comme en base 10.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé. Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les 12 mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs.

Notes

Base de numération positionnelle
1 à 9	unaire (1), binaire (2), trinaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9)
10 à 60	décimal (10), duodécimal (12), hexadécimal (16), vicésimal (20), sexagésimal (60),
Autre base	base d'or (φ),
Notions	base • chiffre • nombre • notation positionnelle • numération

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