Symmetrie dihédrale

Groupe diédral

Symétrie bidimensionnelle D₄

En mathématiques, le groupe diédral noté D_n, pour $n\geq 2$ , ou parfois D_2n, est un groupe d'ordre 2n qui s'interprète notamment comme le groupe des isométries du plan conservant un polygone régulier à n côtés. Le groupe est constitué de n éléments correspondant aux rotations et n autres correspondant aux réflexions.

Pour n = 2, le groupe D₂ est le groupe de Klein à quatre éléments. C'est le seul qui soit un groupe abélien.

Sommaire

1 Présentation et définitions équivalentes
2 Interprétation géométrique
3 Graphe de cycle
4 Propriétés
5 Représentations
6 Groupe diédral infini
7 Bibliographie
8 Notes et références

Présentation et définitions équivalentes

Le groupe D_n peut être défini par la suite exacte scindée suivante :

$1\to C_n\to D_n\to C_2\to 1$

où C_n est un groupe cyclique d'ordre n, C₂ est cyclique d'ordre 2, la section étant donnée par l'action d'un relevé $σ$ du générateur de C₂, sur un générateur $τ$ du groupe cyclique d'ordre n :

στσ - 1 = τ - 1

Ce groupe est donc produit semi-direct de C_n par C₂ suivant le morphisme $ψ$ , où l'unité de C₂ agit sur C_n comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur C_n par inversion. Explicitement:

$\text {si} \quad C_n=<\tau>, C_2=<\sigma> \text { alors}\quad \psi(1)(\tau^k)=\tau^k, \psi(\sigma)(\tau^k)=\tau^{-k} \quad \forall k \in \{0,1,2,..., n-1\}$ .

Une présentation est alors :

$\left\langle\sigma,\tau|\sigma^2,\tau^n,\sigma\tau\sigma^{-1}\tau\right\rangle$

On peut ainsi dresser une liste complète des éléments du groupe :

$1,\tau,\tau^2,\dots,\tau^{n-1},\sigma,\sigma\tau,\sigma\tau^2,\dots,\sigma\tau^{n-1}$

Une présentation alternative, où $μ = τσ$ dans le système de générateurs de la présentation précédente, est :

$\left\langle\sigma,\mu|\sigma^2,\mu^2,(\mu\sigma)^n\right\rangle$

On voit ainsi que le groupe diédral admet un système de deux générateurs distincts tous deux d'ordre 2. Les groupes diédraux sont les seuls groupes finis possédant cette propriété^[1].

Le groupe diédral d'ordre 2n peut aussi être vu comme le groupe d'automorphisme du graphe constitué seulement d'un cycle avec n sommets (si n ≥ 3).

Interprétation géométrique

On peut définir de la façon suivante une représentation du groupe diédral D_n :

$\varphi : D_n\to \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$

avec $\varphi(\tau)=\begin{pmatrix}\cos{2\pi \over n} & -\sin{2\pi \over n} \\ \sin{2\pi \over n} & \cos{2\pi \over n}\end{pmatrix}$ et $\varphi(\sigma)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ . Cette représentation est en fait à valeurs dans le groupe $O_2(\mathbb{R})$ .

On reconnaît que la matrice $φ(τ)$ est une matrice de rotation d'angle $2\pi\over n$ , et la matrice $φ(σ)$ une matrice de réflexion. Ces transformations laissent effectivement invariant le polygone régulier centré en l'origine à n côtés.

Graphe de cycle

Les graphes de cycle de groupes diédraux sont constitués d'un cycle à n éléments et de cycles à 2 éléments. Le sommet sombre dans les graphes de cycle ci-dessous de divers groupes diédraux représente l'élément identité, et les autres sommets sont les autres éléments du groupe. Un cycle est constitué des puissances successives de l'un ou l'autre élément connecté à l'élément identité.


D₂	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇

Propriétés

Le sous-ensemble des rotations $\{1,\tau,\tau^2,\dots,\tau^{n-1}\}$ est un sous-groupe normal.

Certaines propriétés des groupes diédraux D_n avec n ≥ 3 dépendent de la parité de n. Elles peuvent souvent facilement être déduites de la représentation géométrique de ce groupe.

Le centre de D_n est constitué seulement de l'identité si n est impair, mais si n est pair le centre a deux éléments : l'identité et l'élément $τ n / 2$ .
Pour n impair, le groupe D_2n est isomorphe au produit direct de D_n et d'un groupe cyclique d'ordre 2. Cet isomorphisme est donné par :

$\sigma^h\tau^{k+\epsilon n}\mapsto(\sigma^h\tau^k,\epsilon)$

où D_2n est l'ensemble de départ D_n*C₂ celui d'arrivée, h et $ε$ étant définis modulo 2, et k modulo n. Les générateurs des groupes diédraux sont choisis comme dans la première partie de l'article.

Toutes les réflexions sont conjuguées les unes les autres dans le cas où n est impair, mais elles sont contenues dans deux classes de conjugaison si n est pair.
Si m divise n, alors D_n a n / m sous-groupes de type D_m, et un sous-groupe cyclique C_m. Par conséquent, le nombre total de sous-groupes de D_n (n ≥ 1), est égal à d (n) + σ (n), où d (n) est le nombre de diviseurs positifs de n et σ (n) est la somme des diviseurs positifs de n (voir liste des petits groupes pour les cas n ≤ 8)

Représentations

Si n est impair, le groupe D_n admet 2 représentations irréductibles complexes de degré 1 :

$\sigma\mapsto (-1)^k\;\tau\mapsto 1\;k\in\{0,1\}$

En revanche, si n est pair, il existe 4 représentations irréductibles de degré 1 :

$\sigma\mapsto (-1)^k\;\tau\mapsto (-1)^h\;k\in\{0,1\}\;h\in\{0,1\}$

Les autres représentations irréductibles sont toutes de degré 2 ; elles sont en nombre $\frac{n-1}{2}$ si n est impair, respectivement $\frac{n}{2}-1$ si n est pair. On peut les définir comme suit :

$\tau\mapsto\begin{pmatrix} \omega^h & 0 \\ 0 & \omega^{-h}\end{pmatrix}\quad\mbox{ et }\quad\sigma\mapsto\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$

où $ω$ désigne une racine primitive n^e de l'unité, et h parcourt les entiers compris entre 1 et n-1. On peut vérifier que deux telles représentations sont isomorphes seulement pour h₁ et h₂ vérifiant h₁+h₂=n. On obtient alors le nombre annoncé de représentations irréductibles de degré 2 non isomorphes, et donc toutes les représentations irréductible du groupe diédral, par la formule liant le nombre de représentations irréductibles à l'ordre du groupe.

Groupe diédral infini

En plus des groupes diédraux finis, on trouve le groupe diédral infini D_∞.

Tout groupe diédral est généré par une rotation r et une réflexion. Si la rotation est un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il existe un entier n tel que rⁿ soit l’identité, et on est en présence d’un groupe diédral fini d’ordre 2n. Mais si la rotation n’est pas un multiple rationnel d’une rotation totale, alors il n’existe pas de tel n et le groupe résultant a un nombre infini d’éléments ; on le note D_∞. Il admet pour présentation

$\langle r, f \mid f^2 = 1, frf = r^{-1} \rangle$

$\langle x, y \mid x^2 = y^2 = 1 \rangle$

et est isomorphe au produit semi-direct de ℤ et ℤ/2ℤ, ainsi qu’au produit libre ℤ/2ℤ * ℤ/2ℤ. Il s’agit de l’automorphisme de groupes du graphe constitué d’un chemin infini vers les deux extrémités. De façon équivalente, il s’agit du groupe des isométries de ℤ.

Bibliographie

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]

Algèbre générale , Bernard Charles et denis Allouch , PUF , Paris 1984

Notes et références

↑ J. J. Rotman, An introduction to the Theory of Groups, 4^e éd., tirage de 1999, théor. 3.32, p. 68.

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