Centre D'un Groupe

Centre d'un groupe

En théorie des groupes, on appelle centre d'un groupe $G$ l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Exemple
4 Application
5 Voir aussi

Définition

Soit $(G, * )$ un groupe, noté multiplicativement, de neutre $e$ .

$Z_G = \left\{ z \in G / \forall g \in G, g z = z g \right\}$

$Z G$ est un sous-groupe de $G$ .

Propriétés

On montre que $Z G$ est un sous-groupe distingué, abélien.

Exemple

Le centre d'un groupe abélien $G$ est le groupe $G$ entier, c'est-à-dire:

$Z_G = G \,$

Application

On considère l'automorphisme intérieur :

$\phi : G \rightarrow Aut(G), \, g \mapsto \phi_g \,$

où $\phi_g \,$ est l'automorphisme défini par:

$\phi _g : G \rightarrow G, h \mapsto g h g^{-1} \,$

On a alors:

$\ker (\phi)=Z_G \,$

$\mbox{Im} \, G= \mbox{Int}(G)$

Le sous-groupe $Int(G)$ est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

$G/Z(G) \cong \mbox{Int}(G) \,$ .

Voir aussi

Centre (algèbre)

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Catégorie : Théorie des groupes

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