Polynomes orthogonaux

Polynômes orthogonaux

Sommaire

1 Introduction
- 1.1 Exemple : les polynômes de Legendre
2 Propriétés des suites de polynômes orthogonaux
3 Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux
4 Tableau des polynômes orthogonaux classiques
5 Voir aussi
6 Références

Introduction

En mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes p₀(x), p₁(x), p₂(x) ... , dans laquelle chaque p_n(x) a un degré n et de telle sorte que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire de fonctions donné.

Le produit scalaire de fonctions le plus simple est l'intégrale du produit de ces fonctions:

$\langle f,g \rangle=\int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x)\,dx$

Plus généralement, nous pouvons introduire une "fonction poids" W(x) dans l'intégrale (W doit être positive sur l'intervalle d'intégration):

$\langle f,g \rangle=\int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x)W(x)\,dx$

Avec cette définition du produit scalaire, deux fonctions sont orthogonales entre elles si leur produit scalaire est égal à zéro (de la même manière que deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires) si leur produit scalaire égale zéro). On introduit alors la norme associée : $||f||=\sqrt{\langle f,f \rangle}$ ; le produit scalaire fait de l'ensemble de toutes les fonctions de norme finie un espace de Hilbert.

L'intervalle d'intégration est appelé intervalle d'orthogonalité. Il peut être infini à une ou deux bornes.

Le domaine des polynômes orthogonaux a été développé durant le XIX^ème siècle par l'étude des fractions continues par Stieltjes. En a découlé de multiples applications en mathématiques et en physique.

Exemple : les polynômes de Legendre

Les polynômes orthogonaux les plus simples sont les polynômes de Legendre pour lesquels l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1. Ils sont la base orthogonale adaptée au drapeau $(\mathbb{R}_i[x])_{0\leq i\leq n}$ :

$P_0(x) = 1\,$

$P_1(x) = x\,$

$P_2(x) = \frac{3x^2-1}{3}\,$

$P_3(x) = \frac{5x^3-3x}{5}\,$

$P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{35}\,$

$\dots\,$

Ils sont tous orthogonaux sur [−1, 1]:

$\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,dx = 0\qquad \mathrm{pour}\qquad m \ne n$

Propriétés des suites de polynômes orthogonaux

Dans le cas général, on définit un produit scalaire par la formule analogue : $\langle f,g \rangle=\int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x)W(x)\,dx$ , où la fonction poids W doit être strictement positive dans le domaine d'intégration. Dans certains cas, elle peut être nulle ou infinie aux bornes de l'intégrale. L'intégrale du produit de la fonction poids par un polynôme doit être finie.

Toute suite de polynômes $p_0, p_1 \dots$ , où chaque $\ p_k$ est de degré k, est une base de l'espace vectoriel (de dimension infinie) de tous les polynômes. Une suite de polynômes orthogonaux est simplement une suite qui forme une base orthogonale pour cet espace, relativement à ce produit scalaire.

Le procédé de Gram-Schmidt peut transformer toute base d'un espace vectoriel (muni d'un produit scalaire) en une base orthogonale. On démarre avec un vecteur de la base et on ajoute, un à un, de nouveaux vecteurs de telle manière que chacun soit orthogonal à tous les précédents, en soustrayant au vecteur suivant de la base initiale une combinaison linéaire des précédents vecteurs (c'est un exercice souvent proposé dans les cours d'algèbre linéaire). C'est ainsi qu'on a construit les polynômes de Legendre au paragraphe précédent.

Quand on construit une base orthogonale, on peut être tenté de la rendre orthonormale, c'est-à-dire telle que $\langle p_n, p_n \rangle\ =\ 1$ pour tout n, en divisant chaque $p n$ par sa norme. Dans le cas des polynômes, il en résulterait souvent des coefficients contenant des racines carrées. On préfère souvent choisir un multiplicateur tel que les coefficients restent rationnels, et donnent des formules aussi simples que possible. On appelle cela standardisation. Les polynômes "classiques" énumérés ci-dessous ont été ainsi standardisés ; typiquement, le coefficient de leur terme de plus haut degré ont été mis à une quantité donnée (1 pour les polynômes de Legendre). Cette standardisation n'a pas de signification mathématique, c'est juste une convention, qui pourrait aussi parfois être obtenue par une mise à l'échelle de la fonction poids correspondante. Notons $h_n=\langle p_n,\ p_n \rangle$ (la norme de $\ p_n$ est la racine carrée de $\ h_n$ ). Les valeurs de $\ h_n$ pour les polynômes standardisés sont énumérées dans le tableau ci-dessous. Nous avons

$\langle p_m,\ p_n \rangle\ =\ \delta_{mn}h_n$ ;

où δ_mn est le delta de Kronecker.

Toute suite de polynômes orthogonaux possède un grand nombre de propriétés élégantes. Pour commencer :

Lemme 1: Étant donné une suite de polynômes orthogonaux $\ p_i(x)$ , tout polynôme $\ S(x)$ de degré n peut s'exprimer de manière unique comme une combinaison linéaire de $p_0 \dots p_n,$ c'est-à-dire qu'il existe des coefficients ${\alpha}_0 \dots {\alpha}_n$ tel que

$S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)$

Lemme 2: Étant donnée une suite de polynômes orthogonaux, tout élément de cette suite est orthogonal à n'importe quel polynôme de degré strictement inférieur.

Ces deux résultats sont des cas particuliers de la théorie des bases dans un espace de Hilbert

Relation de récurrence

Pour toute suite de polynômes orthogonaux (il suffit d'ailleurs que le polynôme $p n$ soit de degré n), il existe une relation de récurrence relativement à trois polynômes consécutifs.

$p_{n+1}\ =\ (a_nx+b_n)\ p_n\ -\ c_n\ p_{n-1}$

Les coefficients a, b, et c dépendent de n (et aussi de la standardisation).

Démonstration

Le polynôme $x p n$ étant de degré $n + 1$ , on peut l'exprimer sous forme d'une combinaison linéaire des éléments de la base $(p_j)_{j=0}^{n+1}$ :

$x p_n = \sum_{j=0}^{n+1}\langle x p_n,p_j\rangle p_j$

$= \sum_{j=0}^{n+1}\int_{x_1}^{x_2}x p_n(x) p_j(x)W(x)dx$

$= \sum_{j=0}^{n+1}\int_{x_1}^{x_2}p_n(x) x p_j(x)W(x)dx$

$= \sum_{j=0}^{n+1}\langle p_n,x p_j\rangle p_j$

Pour conclure, il reste à utiliser une autre propriété remarquable de notre suite de polynômes: chaque $p n$ est orthogonal à l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à n. Par conséquent, dès que le degré de $x p j$ est inférieur à n, le coefficient $\langle p_n,x p_j\rangle$ est nul. La somme se limite ainsi à une somme à trois termes

$x p_n = \sum_{j=n-1}^{n+1}\langle p_n,x p_j\rangle p_j$

En réordonnant ces termes on obtient le résultats annoncé.

Les valeurs de $a n$ , $b n$ et $c n$ peuvent être calculées directement. Soient $k j$ et $k j'$ les deux premiers coefficients de $p j$ :

$p_j(x)=k_jx^j+k_j'x^{j-1}+\cdots$

et $h j$ le produit scalaire de $p j$ par lui-même :

$h_j\ =\ \langle p_j,\ p_j \rangle$

On obtient

$a_n=\frac{k_{n+1}}{k_n}\ \ \ \ \ \ \ b_n=a_n \left(\frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} - \frac{k_n'}{k_n} \right)\ \ \ \ \ \ \ c_n=a_n \left(\frac{k_{n-1}h_n}{k_n h_{n-1}} \right).$

Existence de racines réelles

Tout polynôme d'une suite de polynômes orthogonaux dont le degré n est supérieur ou égal à 1 admet n racines distinctes, toutes réelles, et situées strictement à l'intérieur de l'intervalle d'intégration (c'est une propriété remarquable : il est rare, pour un polynôme de degré élevé dont les coefficients ont été choisis au hasard, d'avoir toutes ses racines réelles)

Démonstration

Soit m le nombre des points où P_n change de signe à l'intérieur de l'intervalle d'intégration ; notons $x_1 \dots x_m$ ces points. Ce sont tous des racines de P_n. D'après le théorème fondamental de l'algèbre, m ≤ n. On va montrer m = n. Soit $S(x) = \prod_{j=1}^m (x - x_j)$ ; c'est un polynôme de degré m qui change de signe en chaque point x_j ; S(x)P_n(x) est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur l'intervalle d'intégration sauf aux points x_j , et il en est donc de même de S(x)P_n(x)W(x). Ainsi, $\langle S, P_n \rangle$ , l'intégrale de ce produit, est non nul. Mais, d'après le Lemme 2, P_n est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de S doit être n.

Position des racines

Les racines des polynômes se trouvent strictement entre les racines du polynôme de degré supérieur dans la suite.

Démonstration

On met d'abord tous les polynômes sous une forme standardisée telle que le coefficient dominant soit positif (ce qui ne change pas les racines). Montrons ensuite le lemme suivant : pour tout n et tout x,

$P_{n+1}'(x)\ P_n(x) > P_{n+1}(x)\ P_n'(x)\,$ .

Démonstration par récurrence. Pour n = 0, $P_1'(x) > 0\,$ , $P_0(x) > 0\,$ , et $P_0'(x) = 0\,$ .

On a la relation de récurrence

$P_{n+1}(x) = (ax + b) P_n(x) - c P_{n-1}(x)\,$ , avec $a = \frac{k_{n+1}}{k_n} > 0\,$ et $c = a\,\frac{k_{n-1}h_n}{k_{n}h_{n-1}} > 0\,$ .

Donc

$P_{n+1}' = a P_n + (ax + b) P_n' - c P_{n-1}'.\,$

$\begin{align} & {} \quad P_{n+1}'\ P_n - P_{n+1}\ P_n' = [a P_n + (ax + b) P_n' - c P_{n-1}'] P_n - [(ax + b) P_n - c P_{n-1}] P_n' \\ & {} = [a P_n - c P_{n-1}'] P_n + c P_{n-1}\ P_n' \\ & {} = a P_n^{ 2} + c (P_n'\ P_{n-1} - P_n\ P_{n-1}') \\ & {} \ge c (P_n'\ P_{n-1} - P_n\ P_{n-1}') \end{align}$

Mais $P_n'\ P_{n-1} - P_n\ P_{n-1}' > 0\,$ (d'après l'hypothèse de récurrence). Soit alors x une racine de P_n+1, le lemme nous dit que

$P_{n+1}'(x)\ P_n(x) > P_{n+1}(x)\ P_n'(x) = 0.\,$ .

Ainsi, $P_{n+1}'(x)\,$ et $P_n(x)\,$ ont le même signe. Mais $P_{n+1}'(x)\,$ doit changer de signe entre chaque racine de P_n+1 et la suivante. Par conséquent, P_n doit également changer de signe, donc P_n doit avoir une racine dans cet intervalle.

Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Une importante classe des polynômes orthogonaux provient d'une équation différentielle de la forme

${Q(x)}\,f'' + {L(x)}\,f' + {\lambda}f = 0\,$

où Q est un polynôme quadratique donné et L un polynôme linéaire donné. La fonction f est inconnue, et la constante λ est un paramètre. On peut remarquer qu'une solution polynomiale est a priori envisageable pour une telle équation, les degrés des termes étant compatibles. Cependant, les solutions de cette équation différentielle ont des singularités, à moins que λ ne prenne des valeurs spécifiques. La suite de ces valeurs ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2 \dots\,$ conduit à une suite de polynômes solutions $P_0, P_1, P_2 \dots\,$ si l'une des assertions suivantes est vérifiée :

Q est vraiment quadratique, L est linéaire, Q a deux racines réelles distinctes, la racine de L est située entre les deux racines de Q, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe.
Q n'est pas quadratique, mais linéaire, L est linéaire, les racines de Q et L sont différentes, et les termes de plus haut degré de Q et L ont le même signe si la racine de L est plus petite que celle de Q, ou inversement.
Q est un polynôme constant non nul, L est linéaire, et le terme de plus haut degré de L est de signe opposé à celui de Q.

Ces trois cas conduisent respectivement aux polynômes de Jacobi, de Laguerre et d'Hermite. Pour chacun de ces cas :

La solution est une suite de polynômes $P_0, P_1, P_2 \dots\,$ , chaque $P_n\,$ ayant un degré n, et correspondant au nombre ${\lambda}_n\,$ .
L'intervalle d'orthogonalité est limité par les racines de Q.
La racine de L est à l'intérieur de l'intervalle d'orthogonalité.
En notant $R(x) = e^{\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{Q(t)}\,dt}\,$ , les polynômes sont orthogonaux sous la fonction poids $W(x) =\frac{R(x)}{Q(x)}\,$
W(x) ne peut pas s'annuler ou prendre une valeur infinie dans l'intervalle, bien qu'il puisse le faire aux extrémités.
W(x) peut être choisi positif sur l'intervalle (multiplier l'équation différentielle par -1 si nécessaire)

En raison de la constante d'intégration, la quantité R(x) est définie à une constante multiplicative près. Le tableau ci-dessous donne les valeurs "officielles" de R(x) et W(x).

Formule de Rodrigues

Avec les hypothèses de la section précédente, P_n(x) est proportionnel à $\frac{1}{W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)$

équation mieux connue sous le nom de « formule de Rodrigues ». Elle est souvent écrite :

$P_n(x) = \frac{1}{{e_n}W(x)} \ \frac{d^n}{dx^n}\left(W(x)[Q(x)]^n\right)$

où les nombres e_n dépendent de la normalisation. Les valeurs de e_n sont données dans le tableau plus bas.

Les nombres λ_n

Avec les hypothèses de la section précédente,

${\lambda}_n = n \left( \frac{1-n}{2}\ Q'' - L' \right)$

(on remarquera que $Q$ étant quadratique et $L$ linéaire, $Q''$ et $L'$ sont bien des constantes.)

Seconde forme de l'équation différentielle

Avec $R(x) = e^{\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{Q(t)}\,dt}\,$ .

Alors

$(Ry')' = R\,y'' + R'\,y' = R\,y'' + \frac{R\,L}{Q}\,y'$

En multipliant maintenant l'équation différentielle

${Q}\,y'' + {L}\,y' + {\lambda}\,y = 0\,$

par R/Q, on obtient

$R\,y'' + \frac{R\,L}{Q}\,y' + \frac{R\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

ou encore

$(Ry')' + \frac{R\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

C'est la forme normalisée de Sturm-Liouville de l'équation.

Troisième forme de l'équation différentielle

En posant $S(x) = \sqrt{R(x)} = e^{\int_{x_0}^{x} \frac{L(t)}{2\,Q(t)}\,dt}\,$ .

Alors :

$S' = \frac{S\,L}{2\,Q}.$

En multipliant maintenant l'équation différentielle

${Q}\,y'' + {L}\,y' + {\lambda}\,y = 0\,$

par S/Q, on obtient :

$S\,y'' + \frac{S\,L}{Q}\,y' + \frac{S\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

ou encore

$S\,y'' + 2\,S'\,y' + \frac{S\,\lambda}{Q}\,y = 0\,$

Mais $(S\,y)'' = S\,y'' + 2\,S'\,y' + S''\,y$ , donc

$(S\,y)'' + \left(\frac{S\,\lambda}{Q} - S''\right)\,y = 0,\,$

ou, en posant u = Sy,

$u'' + \left(\frac{\lambda}{Q} - \frac{S''}{S}\right)\,u = 0.\,$

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

Nom et symbole conventionnel	Tchebychev, $\ T_n$	Tchebychev (seconde sorte), $\ U_n$	Legendre, $\ P_n$	Hermite, $\ H_n$
Limite d'orthogonalité	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$	$-\infty, \infty$
Poids, $W(x)\,$	$(1-x^2)^{-1/2}\,$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$1\,$	$e^{-x^2}$
Normalisation	$T_n(1)=1\,$	$U_n(1)=n+1\,$	$P_n(1)=1\,$	Terme de plus haut degré = $2^n\,$
Carré de la norme $h_n\,$	$\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right.$	$\pi/2\,$	$\frac{2}{2n+1}$	$2^n\,n!\,\sqrt{\pi}$
Terme de plus haut degré, $k_n\,$	$2^{n-1}\,$	$2^n\,$	$\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\,$	$2^n\,$
Second terme, $k'_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$	$1\,$
$L\,$	$-x\,$	$-3x\,$	$-2x\,$	$-2x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{1/2}\,$	$(1-x^2)^{3/2}\,$	$1-x^2\,$	$e^{-x^2}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n^2\,$	$n(n+2)\,$	$n(n+1)\,$	$2n\,$
Constante dans la formule de Rodrigues, $e_n\,$	$(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}}\,$	$2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2)}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}\,$	$(-2)^n\,n!\,$	$(-1)^n\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$2\,$	$2\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$	$2\,$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$	$0\,$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$1\,$	$1\,$	$\frac{n}{n+1}\,$	$2n\,$

Nom et symbole	Laguerre associé, $L_n^{(\alpha)}$	Laguerre, $\ L_n$
Limites d'orthogonalité	$0, \infty\,$	$0, \infty\,$
Poids, $W(x)\,$	$x^{\alpha}e^{-x}\,$	$e^{-x}\,$
Normalisation	Lead term = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$	Lead term = $\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Carré de la norme $h_n\,$	$1\,$	$1\,$
Terme de plus haut degré $k_n\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$	$\frac{(-1)^n}{n!}\,$
Second terme, $k'_n\,$	$\frac{(-1)^{n+1}(n+\alpha)}{(n-1)!}\,$	$\frac{(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}\,$
$Q\,$	$x\,$	$x\,$
$L\,$	$\alpha+1-x\,$	$1-x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$x^{\alpha+1}\,e^{-x}\,$	$x\,e^{-x}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n\,$	$n\,$
Constante dans la relation de Rodrigues, $e_n\,$	$n!\,$	$n!\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$	$\frac{-1}{n+1}\,$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$\frac{2n+1+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{2n+1}{n+1}\,$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$\frac{n+\alpha}{n+1}\,$	$\frac{n}{n+1}\,$

Nom et symbole	Gegenbauer, $C_n^{(\alpha)}$	Jacobi, $P_n^{(\alpha, \beta)}$
Limites d'orthogonalité	$-1, 1\,$	$-1, 1\,$
Poids, $W(x)\,$	$(1-x^2)^{\alpha-1/2}\,$	$(1-x)^\alpha(1+x)^\beta\,$
Normalisation	$C_n^{(\alpha)}(1)=\frac{\Gamma(n+2\alpha)}{n!\,\Gamma(2\alpha)}\,$ if $\alpha\ne0$	$P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}\,$
Carré de la norme, $h_n\,$	$\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}$	$\frac{2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1)} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)}$
Terme de plus haut degré, $k_n\,$	$\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(1/2+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma(n+1/2+\alpha)}\,$	$\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
Second terme, $k'_n\,$	$0\,$	$\frac{(\alpha-\beta)\,\Gamma(2n+\alpha+\beta)}{(n-1)!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}\,$
$Q\,$	$1-x^2\,$	$1-x^2\,$
$L\,$	$-(2\alpha+1)\,x\,$	$\beta-\alpha-(\alpha+\beta+2)\,x\,$
$R(x) =e^{\int \frac{L(x)}{Q(x)}\,dx}$	$(1-x^2)^{\alpha+1/2}\,$	$(1-x)^{\alpha+1}(1+x)^{\beta+1}\,$
Constante dans l'équation différentielle, ${\lambda}_n\,$	$n(n+2\alpha)\,$	$n(n+1+\alpha+\beta)\,$
Constante dans l'équation de Rodrigues, $e_n\,$	$\frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n\!+\!1/2\!+\!\alpha)} {\Gamma(n\!+\!2\alpha)\Gamma(\alpha\!+\!1/2)}$	$(-2)^n\,n!\,$
Relation de récurrence, $a_n\,$	$\frac{2(n+\alpha)}{n+1}\,$	$\frac{(2n+1+\alpha+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{2(n+1)(n+1+\alpha+\beta)}$
Relation de récurrence, $b_n\,$	$0\,$	$\frac{({\alpha}^2-{\beta}^2)(2n+1+\alpha+\beta)}{2(n+1)(2n+\alpha+\beta)(n+1+\alpha+\beta)}$
Relation de récurrence, $c_n\,$	$\frac{n+2{\alpha}-1}{n+1}\,$	$\frac{(n+\alpha)(n+\beta)(2n+2+\alpha+\beta)}{(n+1)(n+1+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta)}$

Voir aussi

Références

Polynômes de Tchebychev sur Math-Linux.

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Polynomes orthogonaux

Polynômes orthogonaux

Sommaire

Introduction

Exemple : les polynômes de Legendre

Propriétés des suites de polynômes orthogonaux

Relation de récurrence

Démonstration

Existence de racines réelles

Position des racines

Équations différentielles conduisant à des polynômes orthogonaux

Formule de Rodrigues

Les nombres λ_n

Seconde forme de l'équation différentielle

Troisième forme de l'équation différentielle

Tableau des polynômes orthogonaux classiques

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