Polynômes secondaires
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Polynôme secondaire
Introduction et définition
On se place sur l'espace de Hilbert
où I est un intervalle de
et ρ la densité de la mesure.
Les polynômes secondaires associés aux polynômes orthogonaux
sont les polynômes
obtenus par la relation :
![Q_n(X)=\int_I \frac{P_n(t)-P_n(X)}{t-X}\rho(t)\text{d}t](/pictures/frwiki/55/7a505dc045a553843bd1c2f49e7bf755.png)
Ces polynômes ne sont plus orthogonaux, mais suivent la même relation de récurrence que les Pn :
si Pn s'écrit : ![P_n(X)=\alpha_n X^n+\alpha_{n-1} X^{n-1}+ \cdots + \alpha_1 X+\alpha_{0}](/pictures/frwiki/49/1136c98d530c0f580cad1429f8fc0846.png)
alors la relation de récurrence est :
![XP_n(X)=
\frac{\alpha_n}{\alpha_{n+1}}P_{n+1}(X)
+\left(
\frac{\beta_n}{\alpha_n}
-\frac{\beta_{n+1}}{\alpha_{n+1}}
\right)
P_n(X)
+\frac
{\alpha_{n-1}||P_n||^2}
{\alpha_{n}||P_{n-1}||^2}
P_{n-1}(X)](/pictures/frwiki/100/db82f6b49d870c536d2f98193ed94927.png)
Polynômes secondaires des polynômes orthogonaux classiques
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Voir aussi
Les polynômes secondaires sont à la base de la théorie des mesures secondaires.
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2010.
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