Théorie Sturm-Liouville

Théorie de Sturm-Liouville

La théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme

$-{d\over dx}\left[p(x){dy\over dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y, \qquad (1)$

dans laquelle le paramètre $λ$ fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée sur un segment $[a, b]$ et accompagnée de conditions « au bord » reliant les valeurs $y (a)$ , $y'(a)$ , $y (b)$ et $y'(b)$ . Les solutions $λ$ et $y$ du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre d'un certain opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert. Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante.

Cette théorie porte le nom des mathématiciens Charles Sturm (1803-55) et Joseph Liouville (1809-82) qui travaillèrent conjointement à sa mise en forme.

Sommaire

1 Forme de Sturm-Liouville pour une équation homogène
- 1.1 Exemples
- 1.2 Le théorème de comparaison de Sturm
2 Problème de Sturm-Liouville

Forme de Sturm-Liouville pour une équation homogène

Soit une équation différentielle linéaire d'ordre deux, scalaire, homogène

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,$

Il est possible de la mettre sous la forme

${d\over dx}\left[p(x){d\over dx}y(x)\right]+q(x)y(x)=0$

dite forme de Sturm-Liouville, avec une fonction p à valeurs strictement positives. En général, il faut pour cela utiliser un facteur intégrant. En l'occurrence, après division par $P (x)$ et multiplication par le facteur

$p(x)=\exp \left(\int_a^x \frac{Q(t) }{ P(t)}\,dt\right),$

on obtient le résultat désiré. Cette technique ne peut pas être généralisée aux équations vectorielles.

Exemples

Voici pour quelques équations classiques, la forme de Sturm-Liouville correspondante

équation de Bessel

$x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-\nu^2)y=0\, \qquad (xy')'+(\lambda^2 x-\nu^2/x)y=0.\,$

équation de Legendre

$(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\qquad [(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!$

Dans le cas d'une équation telle que

$x^3y''-xy'+2y=0.\,$

la forme de Sturm-Liouville s'écrit

$(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.$

Le théorème de comparaison de Sturm

Le théorème donne un lien entre les solutions de deux équations différentielles de Sturm-Liouville

$(E_1)\qquad {d\over dx}\left[p_1(x){d\over dx}y(x)\right]+q_1(x)y(x)=0$

$(E_2)\qquad {d\over dx}\left[p_2(x){d\over dx}y(x)\right]+q_2(x)y(x)=0$

On suppose que pour tout élément $x \in [a,b]$ , $p_1(x)\geq p_2(x)>0$ et $q_1(x)\leq q_2(x)$ .

Alors si $y 1$ est une solution non triviale de l'équation différentielle $E 1$ et si $y 2$ est solution de $E 2$ , entre deux points d'annulation de $y 1$ se trouve un point d'annulation de $y 2$ .

Problème de Sturm-Liouville

Le problème est constitué de l'équation différentielle (1) et des conditions aux limites (supposées non triviales)

$\begin{cases} \alpha_1.y(a) + \alpha_2.y'(a) &= 0 \\ \beta_1.y(b) + \beta_2.y'(b)& = 0 \end{cases}\qquad (2)$

L'opérateur de Sturm-Liouville associé est l'opérateur différentiel

$L u =-{d\over dx}\left[p(x){du\over dx}\right]+q(x)u$

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