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Définition

Ce tenseur est défini dans le cadre du formalisme mathématique de la relativité restreinte, où aux trois dimensions spatiales est adjointe une dimension temporelle. Les objets vectoriels ont ainsi quatre composantes, on parle donc de quadrivecteur. Le tenseur électromagnétique peut être vu comme une matrice 4×4, dont les éléments sont déterminés par un quadrivecteur appelé potentiel vecteur, habituellement noté A. Le tenseur de Maxwell, habituellement noté F est donné par la formule

$F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a$ .

Ce tenseur est antisymétrique et de trace nulle.

Expression des composantes

Le tenseur électromagnétique permet de reconsidérer la force de Lorentz s'exerçant sur une particule chargée. Cette force, f a pour expression

${\mathbf{f}} = q {\mathbf{E}} + q {\mathbf{v}} \wedge {\mathbf{B}}$ .

En relativité restreinte, son expression devient

f a = q F a b u b

où u est la quadrivitesse de la particule considérée. Ceci permet de reconstituer les composantes du tenseur de Maxwell dans un système de coordonnées cartésiennes :

$F^a{}_b = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & \frac{1}{c^2} E^x & \frac{1}{c^2} E^y & \frac{1}{c^2} E^z \\ E^x & 0 & B^z & - B^y \\ E^y & - B^z & 0 & B^x \\ E^z & B^y & - B^x & 0 \end{array}\right)$ .

L'expression des composantes F_ab dépend de la convention de signature de la métrique utilisée. Dans l'hypothèse où celle-ci est du type (+---), on a

$F_{ab}^{(+---)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & E^x & E^y & E^z \\ - E^x & 0 & - B^z & B^y \\ - E^y & B^z & 0 & - B^x \\ - E^z & - B^y & B^x & 0 \end{array}\right)$ .

Dans le cas inverse, avec la convention (-+++), on a

$F_{ab}^{(-+++)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & - E^x & - E^y & - E^z \\ E^x & 0 & B^z & - B^y \\ E^y & - B^z & 0 & B^x \\ E^z & B^y & - B^x & 0 \end{array}\right)$ .

La différence entre ces deux notations disparaît si l'on exprime les champs électrique E et magnétique B en fonction du potentiel vecteur. L'expression de F_xy correspond à

$F_{xy} = \partial_x A_y - \partial_y A_x$ .

Dans la convention (-+++), cela correspond aussi à

$F^{(-+++)}_{xy} = \partial_x A^y - \partial_y A^x$ .

Cette expression correspond à la composante selon z du rotationnel tridimensionnel de A, qui correspond, d'après les équations de Maxwell à B^z, conformément à l'expression de F_xy dans la convention (-+++). De même, dans la convention (+---), on a

$F^{(+---)}_{xy} = \partial_y A^x - \partial_x A^y$ ,

qui correspond d'après ce qui précède à -B^z. De façon similaire, on a

$F_{xt} = \partial_x A_t - \partial_t A_x$ .

En convention (-+++), ceci s'écrit

$F^{(-+++)}_{xt} = - c^2 \partial_x A^t - \partial_t A^x$ ,

et correspond donc à la composante de E selon x, si l'on assimile le potentiel électrique V à c²A^t, alors qu'en convention (+---), on a

$F^{(+---)}_{xt} = c^2 \partial_x A^t + \partial_t A^x$ ,

qui correspond bien à -E^x.

Les composantes contravariantes s'expriment de la même façon :

$F^{ab}{}^{(+---)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & -\frac{1}{c^2} E^x & -\frac{1}{c^2} E^y & -\frac{1}{c^2} E^z \\ \frac{1}{c^2} E^x & 0 & - B^z & B^y \\ \frac{1}{c^2} E^y & B^z & 0 & - B^x \\ \frac{1}{c^2} E^z & - B^y & B^x & 0 \end{array}\right)$ ,

$F^{ab}{}^{(-+++)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & \frac{1}{c^2} E^x & \frac{1}{c^2} E^y & \frac{1}{c^2} E^z \\ -\frac{1}{c^2} E^x & 0 & B^z & - B^y \\ -\frac{1}{c^2} E^y & - B^z & 0 & B^x \\ -\frac{1}{c^2} E^z & B^y & - B^x & 0 \end{array}\right)$ .

Tenseur dual

Le tenseur électromagnétique étant antisymétrique, il s'agit d'un bivecteur. Il est possible d'en déduire son bivecteur dual, F^*, par la formule

$F^*_{ab} = \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} F^{cd}$ ,

où ε est le tenseur de Levi-Civita, ce qui donne

$F_{ab}^{*\;(+---)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & c B^x & c B^y & c B^z \\ - c B^x & 0 & \frac{1}{c} E^z & - \frac{1}{c} E^y \\ - c B^y & - \frac{1}{c} E^z & 0 & \frac{1}{c} E^x \\ - c B^z & \frac{1}{c} E^y & - \frac{1}{c} E^x & 0 \end{array}\right)$ ,

$F_{ab}^{*\;(-+++)} = \left(\begin{array}{rrrr} 0 & - c B^x & - c B^y & - c B^z \\ c B^x & 0 & - \frac{1}{c} E^z & \frac{1}{c} E^y \\ c B^y & \frac{1}{c} E^z & 0 & - \frac{1}{c} E^x \\ c B^z & - \frac{1}{c} E^y & \frac{1}{c} E^x & 0 \end{array}\right)$ .

Dans les deux cas, l'opération de dualisation permet de transformer le champ électrique E en cB et le champ magnétique B en -E/c.

Aspects mathématiques

Mathématiquement, le tenseur de Maxwell peut être vu comme la dérivée extérieure de A, ce que l'on peut noter sous la forme compacte

F = d A

De ce fait, le tenseur de Maxwell peut être défini par un autre potentiel vecteur, A', défini par

$A'_a = A_a + \partial_a \phi$ ,

ou, plus simplement,

A' = A + dφ

car la dérivée extérieure seconde d'une quantité est nulle par définition. Cette propriété, le fait que le tenseur de Maxwell soit défini à une transformation près du potentiel vecteur, est appelée invariance de jauge.

Équations de Maxwell

Les deux équations de Maxwell sans source ( $\nabla \cdot {\mathbf{B}} = 0$ et $\nabla \wedge {\mathbf{E}} = - \partial {\mathbf{B}} / \partial t$ ) peuvent être combinées en une seule équation très simple, à savoir

d F = 0

qui découle elle-même du fait que F est déjà une dérivée extérieure, que la dérivée extérieure d'une dérivée extérieure est identiquement nulle.

Les deux équations impliquant la présence de charges, ${\rm div}{\mathbf{E}} = \rho / \epsilon_0$ et ${\rm rot}{\mathbf{B}} = \mu_0 {\mathbf{j}} + (1/c^2) \partial {\mathbf{E}} / \partial t$ , peuvent alors être réécrites sous la forme unifiée

${}^* {\rm d} F^* = \frac{j}{\epsilon_0}$ ,

où j est le quadrivecteur du courant électrique.

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Catégorie : Électromagnétisme

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