Equation differentielle lineaire d'ordre deux

Equation differentielle lineaire d'ordre deux

Équation différentielle linéaire d'ordre deux

Les équations différentielles linéaires d'ordre deux sont des équations différentielles de la forme : ay'' + by' + cy = da, b, c et d sont des fonctions numériques. Elles ne peuvent pas toutes être résolues explicitement, cependant beaucoup de méthodes existent pour résoudre celles qui peuvent l'être, ou pour faire l'étude qualitative des solutions à défaut. Parmi les plus simples à résoudre sont les équations à coefficients constants (où a, b, c sont des constantes).

Le qualificatif de linéaire indique qu'il est possible d'appliquer des procédés de superposition de solutions, et d'exploiter des résultats d'algèbre linéaire. Un rôle particulier est dévolu aux équations différentielles homogènes (où d = 0). Il existe une théorie générale des équations différentielles linéaires (vectorielles), mais celles étudiées dans cet article comptent parmi les plus simples et les plus fréquemment rencontrées, notamment en physique.

Sommaire

Équation différentielle homogène

L'équation est homogène lorsque d=0. Dans ce cas, une somme de deux solutions de l'équation est encore solution, ainsi que le produit d'une solution par une constante. L'ensemble des solutions est donc un espace vectoriel et contient notamment une solution évidente, la fonction nulle.

À coefficients constants

Elles sont de la forme ay'' + by' + cy = 0\, a, b et c sont des réels, a non nul.

On les rencontre, entre autres, dans la modélisation de mouvement avec force de rappel (type ressort), avec ou sans amortissement (voir Exemples d'équations différentielles) ou encore dans les circuits électriques comportant une inductance et un condensateur.

On cherche des solutions sous forme exponentielle, c'est-à-dire telles que f(x) = eλx. Une telle fonction sera solution de l'équation différentielle si et seulement si λ est solution de

a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\,

Cette équation est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle.

Comme pour toute équation du second degré, trois cas se présentent selon le signe du discriminant.

Si Δ >0

L'équation possède deux solutions λ1 et λ2.

L'équation possède au moins deux fonctions exponentielles solutions f_1(x) = e^{\lambda_1x} et f_2(x) = e^{\lambda_2x}. On démontre que ces deux solutions engendrent l'ensemble des solutions. C'est-à-dire que l'ensemble des solutions sont les fonctions définies sur R par f(x) = C1f1(x) + C2f2(x)C1 et C2 sont deux réels quelconques.

Pour déterminer ces deux constantes, il est naturel de donner deux informations sur la fonction

  • cela se fait en général en donnant des conditions initiales en un point x0, c'est-à-dire en précisant les valeurs y0 et y'0 de y et y' à cet instant. Dans ce cas l'existence et l'unicité de la solution vérifiant ces conditions initiales sont garanties.
  • pour de nombreux problèmes physiques, il est fréquent de donner des conditions aux limites en précisant les valeurs y1et y2 aux instants x1 et x2. Il y a alors fréquemment existence et unicité des solutions, mais ce n'est pas toujours vrai.

Si Δ = 0

L'équation ne possède qu'une seule solution λ. On démontre alors que l'ensemble des solutions sont les fonctions f définies sur R par f(x) = (Ax + B)eλxA et B sont des réels quelconques.

Pour déterminer A et B, il faut, comme dans le cas précédent posséder deux informations sur f.

Si Δ < 0

L'équation ne possède pas de solutions réelles mais deux solutions complexes : λ1 et λ2 conjuguées l'une de l'autre.

Il est alors utile de faire une incursion dans les fonctions définies sur R et à valeurs dans C. Les fonctions f1 et f2 définie par f_1(x) = e^{\lambda_1x} et f_2(x) = e^{\lambda_2x} sont des solutions de l'équation dans cet ensemble. On démontre alors que l'ensemble des fonctions de R dans C solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies par f(x) = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x}C1 et C2 sont deux complexes quelconques.

Cependant, on cherche encore des fonctions à valeurs dans R. On note alors λ1 = u + iv. Les fonctions f1 et f2 s'écrivent alors

f_1(x) = e^{ux} (\cos(vx) + i\sin(vx))\,
f_2(x) = e^{ux} (\cos(vx) - i\sin(vx))\,.

On peut alors remarquer que les fonctions g1 et g2 définies par

g_1(x) =\frac 12 (f_1(x) + f_2(x) )= e^{ux}\cos(vx)
g_2(x) = \frac{1}{2i}(f_1(x) - f_2(x)) = e^{ux}\sin(vx)

sont encore des solutions de l'équation différentielles mais à valeurs dans R. On démontre alors qu'elles engendrent l'ensemble des solutions à valeurs dans R c’est-à-dire que cet ensemble est formé des fonctions définies sur R par

f(x) = e^{ux}(A\cos(vx) + B\sin(vx))\,A et B sont deux réels quelconques.

Remarque : on peut écrire cette solution sous la forme : f(x) = q e^{ux}\cos(vx+r)\, ,q et r sont deux réels quelconques (cette forme est parfois plus pratique).

La détermination de A et B (ou q et r) se fait, comme dans les cas précédents, par la donnée de deux informations sur f.

Équation à coefficients non constants

Il s'agit d'une équation de la forme a.y''+b.y'+c.y=0\,, où cette fois a, b, c sont des fonctions numériques, supposées continues sur l'intervalle d'étude I, la fonction a ne s'annulant en aucun point de I.

Il n'existe pas d'expression générale des solutions d'une telle équation. C'est pour cette raison qu'au XIXe siècle furent introduites de nombreuses fonctions spéciales (fonctions de Bessel, fonction d'Airy,...) définies comme solutions d'équations qu'il est impossible de résoudre explicitement. Toutefois, dès lors qu'une solution particulière (non nulle) de l'équation est connue, il est possible de la résoudre complètement.

Le théorème de structure

Le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme que l'ensemble S des solutions de l'équation constitue un espace vectoriel de dimension deux. Dès lors, résoudre l'équation différentielle revient à exhiber deux fonctions solutions non proportionnelles : elles formeront une base de l'espace S de solutions. Une telle base est appelée système fondamental de solutions.

En outre, pour tout point x0 de I, l'application de conditions initiales en x0

\begin{matrix}S & \longrightarrow & \R^2 \\ y & \longmapsto &(y(x_0),y'(x_0))\end{matrix}

constitue un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Le wronskien

Étant données deux solutions y1,y2 de l'équation, leur wronskien est défini comme la fonction

W(x)=\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x)\\ y'_1(x) & y'_2(x) \end{vmatrix}=y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)

En utilisant les propriétés d'annulation du déterminant, l'isomorphisme de conditions initiales peut être réécrit en termes de wronskien : les deux solutions forment un système fondamental si et seulement si leur wronskien est non nul en un point t0. Et dans ce cas, le wronskien ne s'annule en aucun point.

Un calcul direct montre que le wronskien de deux solutions vérifie la relation

W'(x)=-\frac{b(x)}{a(x)}W(x)

qui est un cas particulier du théorème de Liouville.

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre un (avec second membre) qu'on sait résoudre. Donc la valeur du wronskien est connue, à une constante multiplicative près en notant A une primitive de la fonction -\frac b  a, on obtient W(x)=W_0e^{A(x)}\, pour une certaine constante W0.

Application à la résolution

Une application fondamentale de cette propriété est la possibilité de résoudre l'équation si une solution y1 non nulle est connue. En effet la relation W(x)=y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)\, peut maintenant se lire comme une nouvelle équation différentielle linéaire d'ordre un, d'inconnue y2.

Exemple
Soit l'équation x^2y''-xy'+y=0\, à résoudre sur ]0,+\infty[
Il s'agit bien d'une équation vérifiant les conditions demandées avec les fonctions a, b, c continues sur l'intervalle d'étude et a jamais nulle. La fonction définie par y1(x) = x est solution évidente. Le wronskien vérifie l'équation W'(x)=\frac1xW(x) ; il est de la forme
W(x)=W_0 x = xy'_2(x)-y_2(x)\,
C'est bien une équation différentielle linéaire d'ordre un, avec la fonction x non nulle sur l'intervalle. Elle a une solution de la forme
y_2(x)=W_0 x\ln x +A x\,
A est une nouvelle constante arbitraire. Nous venons d'établir que toutes les solutions de l'équation d'ordre deux initialement considérée sont de cette forme, on y reconnaît bien la description d'un espace vectoriel de dimension deux de solutions, un système fondamental étant donnée par les solutions y_1:x\mapsto x et x\mapsto x\ln x.

Équation avec second membre

Application du principe de superposition

Lorsque l'équation différentielle possède un second membre (d est une fonction non nulle), il reste possible d'exploiter ce qui précède. L'équation obtenue en remplaçant d par la fonction nulle est appelée équation homogène associée à l'équation différentielle ; on la suppose résolue.

Il suffit alors de trouver une solution de l'équation avec second membre : y0, pour les connaîtres toutes. En effet, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions y0 + g où g est une solution générale de l'équation homogène associée.


Si le second membre d est la somme de plusieurs fonctions d1 et d2  : ay'' + by' + cy = d1 + d2,

on peut chercher une solution particulière s1 de l'équation différentielle de second membre d1  : ay'' + by' + cy = d1

, puis une solution particulière s2 de l'équation différentielle de second membre d2  : ay'' + by' + cy = d2.

La somme de ces deux solutions particulières s=s1+s2 est solution particulière de l'équation de départ.

Recherche de solutions ayant une forme particulière

Si a, b et c sont des constantes, a non nul et si d est une fonction polynôme ou trigonométrique, on cherchera alors une solution particulière de la forme

  • d'un polynôme de degré n si d est un polynôme de degré n
  • d'une combinaison linéaire de cos(ωx + φ) et sin(ωx + φ) si d(x) = Acos(ωx + φ) + Bsin(ωx + φ)

Plus généralement, il est utile de se placer dans des espaces de fonctions particulières qui paraissent adaptés au problème : fonctions polynômes, polynômes trigonométriques, produit d'une exponentielle par un polynôme,... Des considérations physiques (oscillations forcées, résonance) peuvent guider vers une forme particulière de solution.

Méthode générale

Il existe un procédé systématique de recherche des solutions, connu sous le nom quelque peu abusif de méthode de variation des constantes. Elle peut être justifiée par la théorie générale des équations différentielles linéaires.

Soit l'equation 1 * y'' + a(x) * y' + b(x) * y = d(x), soient deux solutions y1,y2 indépendantes de l'équation homogène (donc un système fondamental de solutions). Alors les solutions de l'équation avec second membre sont les fonctions de la forme y = \lambda . y_1+\mu .y_2\,, où les fonctions λ,μ sont de classe {\mathcal C}^1 et données par le système

\forall x  \in I , \qquad \begin{cases}\lambda'(x) . y_1(x)+\mu'(x) .y_2(x)&=0\\
\lambda'(x) . y'_1(x)+\mu'(x) .y'_2(x)&=d(x)\end{cases}


Dans la pratique, on écrira donc ce système, qui admet une solution pour chaque x. Les fonctions solutions peuvent être primitivées et on obtient non seulement une mais toutes les solutions de l'équation avec second membre (si l'on prend en compte les constantes d'intégration dans ce système).

Remarque: Si une fonction multiplie y'' , on pourra diviser toute l'équation par cette fonction afin de revenir au cas étudié ici.

Les équations différentielles linéaires d'ordre deux en physique

Les équations d'ordre deux sont sans doute les équations différentielles les plus utilisées dans les domaines les plus variés. En particulier, les problèmes de dynamique basés sur la deuxième loi de Newton aboutissent à une équation du deuxième ordre (ou plusieurs) dans laquelle le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la somme des forces appliquées.

Sauf éventuellement (?) des équations de la physique fondamentale, aucune équation représentant un phénomène réel n'est vraiment linéaire. Néanmoins l'hypothèse des petits mouvements permet souvent de négliger des petits termes non linéaires et les méthodes évoquées ci-dessus s'appliquent pour donner une solution «exacte». C'est un problème classique dans divers domaines techniques (voir Systèmes oscillants à un degré de liberté).

Dans les cas où les mouvements ne peuvent plus être considérés comme infiniment petits, il arrive fréquemment que le système soit soumis à des forces bien individualisées : une force de rappel qui ne dépend que du mouvement, une force d'amortissement qui ne dépend que de la vitesse et une force extérieure qui ne dépend ni de l'un ni de l'autre. Dans ces conditions il existe des techniques de linéarisation qui permettent de calculer des coefficients adaptés à l'amplitude de l'excitation.

Enfin, on rencontre parfois des cas beaucoup plus compliqués dans lesquels on ne peut séparer les différentes forces. Par exemple, la force extérieure dépend de la position du système au même instant, éventuellement selon une loi très compliquée. Dans ces conditions les solutions analytiques doivent faire place à des solutions numériques. Parmi celles-ci, la méthode de Newmark présente une mise en œuvre très simple, une grande souplesse et une convergence sans trop de difficultés.

Exemple

En physique, on utilise souvent l'équation différentielle \frac{d^2x
}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega_0^2 x = y L'équation différentielle homogène associée (\frac{d^2x
}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega_0^2 x = 0) possède selon le signe de λ − ω0 les solutions suivantes :

  • \lambda > \omega_0 : x(t)=e^{-\lambda t}\left(A e^{\alpha t} + B e^{-\alpha t}\right), avec \alpha = \sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}, dit régime apériodique,
  • \lambda = \omega_0 : x(t)=e^{-\lambda t}\left(A t + B\right), dit régime critique,
  • \lambda < \omega_0 : x(t)=e^{-\lambda t}\left(A \mathrm{cos}(\omega t) + B \mathrm{sin}(\omega t)\right), avec \omega = \sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}, dit régime périodique.

On note aussi cette équation différentielle \ddot x + 2\lambda \dot x + \omega_0^2 x = y (en fonction du temps).

On peut également avoir une équation différentielle de la forme a\ddot x + b\dot x + c x = d. Dans ce cas, 2\lambda = \frac{b}{a}, \omega_0^2 = \frac{c}{a} et y = \frac{d}{a}.

Théorie de Sturm-Liouville

Article détaillé : Théorie de Sturm-Liouville.

La théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires de la forme

 -{d\over dx}\left[p(x){dy\over dx}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y,

dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée sur un segment [a,b] et accompagnée de conditions « au bord » reliant les valeurs y(a),y'(a),y(b),y'(b). Les solutions λ et y du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre d'un certain opérateur autodajoint dans un espace de Hilbert. Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante (Théorème de Riesz-Fredholm).

Par multiplication par un facteur intégrant convenable, toute équation différentielle linéaire d'ordre deux peut être mise sous la forme d'une équation de Sturm-Liouville.

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