- Groupe d’espace
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Groupe d'espace
Le groupe d'espace d'un cristal est constitué par l'ensemble des symétries d'une structure cristalline, c'est-à-dire l'ensemble des isométries affines laissant la structure invariante. Il s'agit d'un groupe au sens mathématique du terme.
Tout groupe d'espace résulte de la combinaison d'un réseau de Bravais et d'un groupe ponctuel de symétrie : toute symétrie de la structure résulte du produit d'une translation du réseau et d'une transformation du groupe ponctuel.
Différentes notations sont utilisées pour représenter un groupe d'espace : les principales sont les notations de Hermann-Mauguin et de Schoenflies.
L'Union internationale de cristallographie publie des Tables internationales de cristallographie ; dans le Volume A chaque groupe d'espace et ses opérations de symétrie sont représentés graphiquement et mathématiquement.
Principe de détermination des groupes d'espace
L'ensemble des groupes d'espace résulte de la combinaison d'une unité de base (ou motif) avec des opérations ponctuelles de symétrie (réflexion, rotation et inversion), auxquelles s'ajoutent des opérations de translation, translation dans le plan ou combinée à une réflexion ou une rotation.
Cependant le nombre de groupes distincts est inférieur à celui des combinaisons, certaines étant isomorphes, c'est-à-dire conduisant au même groupe d'espace. Ce résultat peut être démontré mathématiquement par la théorie des groupes.
Les opérations de translation comprennent :
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- la translation selon les vecteurs de base du réseau, qui fait passer d'une maille à la maille voisine ;
- les translations combinées aux réflexions et aux rotations :
- axe hélicoïdal : une rotation suivant un axe, combinée à une translation selon la direction de l'axe, et dont l'amplitude est une fraction des vecteurs de base. Ils sont notés par un nombre n décrivant le degré de rotation, où n est le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour obtenir l'identité (3 représentent donc par exemple une rotation d'un tiers de tour, soit 2π/3). Le degré de translation est alors noté par un indice qui indique à quelle fraction du vecteur du réseau correspond la translation. Par exemple, 21 représente une rotation d'un demi-tour suivi d'une translation d'un demi-vecteur du réseau.
- miroir translatoire : une réflexion suivie d'une translation parallèle au plan, comme définis dans le tableau suivant :
type de miroir glissement a a/2 (1/2 de la période le long de la direction a) b b/2 (1/2 de la période le long de la direction b) c c/2 (1/2 de la période le long de la direction c) n 1/2 de la période le long d’une direction diagonale d 1/4 de la période le long d’une direction diagonale e 1/2 de la période le long de deux directions perpendiculaires* *Le plan de type e existe seulement dans groupes ayant un réseau centré (non primitif) et les deux glissements sont reliés par le vecteur de translation à composantes fractionnaires
Dans un groupe d’espace, différents éléments des symétrie de la même dimensionalité peuvent co-exister en orientation parallèle. Par exemple, des axes 21 peuvent être parallèles à des axes 2 ; des miroirs de type m peuvent être parallèles à des miroirs de type a ; etc. Dans le symbole du groupe d’espace, le choix de l’élément représentatif suit un ordre de priorité, qui est le suivant :
- les axes sans glissement ont priorité sur les axes hélicoïdaux ;
- la priorité dans le choix du miroir représentatif est : m > e > a > b > c > n > d.
Toutefois, quelques exceptions existent (voir les International Tables for Crystallography, Volume A, 2002, section 4.1.2.3). Par exemple, les groupes I 222 et I 212121 contiennent des axes 21 parallèles à des axes 2, mais dans le premier groupe les trois axes 2 ont intersection commune et les trois axes 21 aussi, tandis que dans le deuxième groupe ce n’est pas le cas. La règle de priorité ne s’applique pas ici, autrement les deux groupes auraient le même symbole.
Les 230 types de groupes d'espace
L'ensemble des 230 types de groupes d'espace en trois dimensions résulte de la combinaison des 32 types de groupes ponctuels de symétrie avec les 14 types de réseaux de Bravais.
Par isomorphisme, les combinaisons d'un type de réseau de Bravais et d'un type de groupe ponctuel de symétrie (32 × 14 = 448) se réduisent finalement à 230 types de groupes d'espace distincts.
La liste de ces types de groupes d'espace, classés par classe de symétrie, est présentée dans l'article système cristallin.
Voir aussi
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