Pavage

Pavage hexagonal d’un sol.

Un pavage (ou dallage) est une partition d’un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l’espace tridimensionnel) par des éléments d'un ensemble fini, appelés dalles (plus précisément, ce sont des compacts d’intérieur non vide). Généralement, on considère des pavages par translations, c’est-à-dire que deux mêmes dalles du pavage sont toujours déductibles l’une de l’autre par une translation (à l’exclusion des rotations ou symétries). Il existe aussi des pavages d’espaces non euclidien, les plus célèbres étant sans doute les nombreux pavages de M.C. Escher (pavages uniformes du plan hyperbolique (en)).

Pavages périodiques

Les pavages périodiques du plan ou de l’espace sont connus depuis l’antiquité et ont souvent été utilisés comme motifs décoratifs en architecture.

En cristallographie, ces pavages modélisent les arrangements périodiques d’atomes (cristaux). En 1891, le cristallographe et mathématicien russe Evgraf Fedorov a montré qu’il existait seulement 17 types de groupes cristallographiques du plan (groupes d’isométries contenant un sous-groupe discret bidimensionnel de translations).

Par la suite, Heinrich Heesch a montré en 1968^[1] qu’il existait 28 types de pavés (ou dalles). Toutefois, cette classification peut être améliorée car certains des 28 types sont cas particuliers d’autres.

En fait, à chacun des groupes cristallographiques, à deux exceptions près, correspond un seul type de pavé. À chacune de ces exceptions, (pg et pgg), sont associés 2 types de pavés. Au total, il existe donc 19 types de pavés pour les pavages périodiques du plan.

Plusieurs de ces types peuvent être réalisés par des pavages dont les pavés sont tous des polygones réguliers. L’Alhambra de Grenade contient des mosaïques illustrant presque tous les types de pavages.

Pavages apériodiques

Les mathématiciens ont longtemps pensé que tout jeu de dalles pouvant paver le plan pouvait le faire périodiquement.

Notamment, Hao Wang a conjecturé en 1961 que c’était le cas, et en a déduit qu’on pouvait concevoir un programme informatique qui déciderait si un jeu de dalles donné permettait de paver ou non le plan. Cependant, en 1966, Robert Berger (un élève de Wang) a trouvé un ensemble de 20 426 dalles ne pouvant paver qu’apériodiquement le plan. En fait, non seulement la conjecture sur laquelle s'appuyait Wang est fausse, mais même le résultat qu'il en déduisait : savoir si un jeu de dalles peut paver ou non le plan est indécidable.

Des jeux toujours plus petits de dalles ne pavant qu’apériodiquement ont depuis été trouvés :

• en 1976, Raphael Robinson (en) simplifie le jeu de dalles de Robert Berger en un jeu de 24 dalles (6 à rotation près) ;
• en 1974, Roger Penrose, trouve un jeu de 20 dalles (2 à rotation près) donnant le pavage de Penrose ;
• en 1996, Karel Culik et Jarkko Kari (en) ont trouvé (par une méthode complètement différente) un jeu de 13 dalles.

En 1994, John Horton Conway et Charles Radin ont trouvé un jeu comportant une infinité de dalles mais qui, à rotation près, se réduit à une unique dalle : un triangle rectangle de côtés 1, 2 et . Le pavage obtenu est connu sous le nom de pavage Pinwheel (en).

Pavages quasipériodiques

Parmi les pavages apériodiques, certains le sont moins que d’autres… en d’autres termes, on peut quantifier le degré d’apériodicité.

Dans cette voie, on peut citer par exemple les notions de récurrence et de récurrence uniforme (ou quasipériodicité).

Un pavage est dit récurrent si, quand un motif (ensemble fini de dalles) apparaît une fois, il apparaît dans n’importe quelle zone suffisamment grande. Si, de plus, on peut fixer la taille de cette zone en fonction de la taille du motif, alors le pavage est dit uniformément récurrent (ou quasipériodique).

Ainsi, un pavage uniformément récurrent du plan est tel que si on considère n’importe quel un motif apparaissant dans un cercle de rayon r tracé sur le pavage, alors il existe un nombre R tel qu’on puisse être sûr que ce motif réapparaisse dans n’importe quel cercle de rayon R tracé sur le pavage.

En particulier, les pavages périodiques sont uniformément récurrents (a fortiori récurrents). C’est aussi le cas du pavage de Penrose. En fait, on peut montrer que si un jeu de dalles pave le plan, alors il peut aussi le paver de manière uniformément récurrente (la preuve repose sur un argument diagonal).

Note

Voir aussi

Bibliographie

Tangente n^o 99 : « L’art des pavages » (juillet-août 2004).

Articles connexes

• Cristallographie
• Groupe de frise
• Pavé
• Polyomino

Liens externes

• Kali, pour tracer des pavages, sur le site geometrygames.org
• Animation des 17 pavages du plan sur le site Mathématiques magiques, de Thérèse Eveilleau
• (en) Tiling Plane & Fancy sur le site de la Southern Polytechnic State University (en) de Géorgie (États-Unis)
• (en) The Tilings Encyclopedia sur le site de l'université de Bielefeld
• Description des 19 types de pavés du plan sur le site de Xavier Hubaut, de l'Université libre de Bruxelles

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