Galois

Évariste Galois

Dessin représentant Évariste Galois
Naissance	25 octobre 1811 Bourg-la-Reine (France)
Décès	31 mai 1832 Paris (France)
Nationalité	France
Champs	mathématiques
Célèbre pour	Travaux sur la théorie des équations et les intégrales abéliennes.
Décès suite à un duel
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Évariste Galois (Bourg-la-Reine, 25 octobre 1811 – Paris, 31 mai 1832) est un mathématicien français. Il a entre autres laissé son nom à la théorie de Galois, qui étudie la résolubilité des équations algébriques à partir des groupes de permutations de leurs racines et qui est considérée comme un ingrédient important dans le point de vue structural des mathématiques modernes. Il a aussi contribué à l'élaboration des « corps de Galois », autre nom des corps finis, qui jouent par exemple un rôle essentiel en cryptographie. Les démêlés de Galois avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d'ombre entourant sa mort prématurée, contrastant avec l'importance reconnue maintenant à ses travaux, ont contribué à en faire l'incarnation même du génie malheureux.

Sommaire 1 Biographie 2 Travaux 2.1 Liste des articles et mémoires présentés 2.2 Style de Galois 2.3 Indépendance des travaux de Galois et d'Abel 3 Légende 4 Notes et références 5 Bibliographies 5.1 Œuvres complètes d'Évariste Galois 5.2 Biographies 5.3 Liens externes

Biographie

Sauf indication contraire, les renseignements qui suivent sont tirés de la principale source biographique due à Paul Dupuy^[1].

Évariste Galois naquit le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine. C'était le deuxième enfant de Nicolas-Gabriel Galois, qui devint maire de Bourg-la-Reine en 1815^[2], et de Adélaïde-Marie Demante, issue d'une famille de juristes.

Il intégra en 1823 le collège Louis-le-Grand en classe de quatrième et obtint tout d'abord des prix en latin et en grec. Néanmoins, il redoubla sa seconde et, suite à une réforme pédagogique, suivit des cours de mathématiques qui le passionnèrent ; il commença à lire directement les travaux des mathématiciens, en particulier les Éléments de géométrie de Legendre, les traités algébriques et analytiques de Lagrange, les Recherches arithmétiques de Gauss. En 1826, Galois obtint un prix en mathématiques au concours général et, l'année suivante, l'un de ses professeurs déclara à son sujet : « C'est la fureur des mathématiques qui le domine ; aussi je pense qu'il vaudrait mieux pour lui que ses parents consentent à ce qu'il ne s'occupe que de cette étude ». Galois décida de se présenter dès l'été 1828 au concours d'entrée à l'École polytechnique, sans être passé comme il était d'usage par une classe de mathématiques spéciales, et y échoua une première fois. En 1829, toujours élève de Louis-le-Grand, cette fois dans la classe de Louis-Paul-Émile Richard qui reconnut son talent, il publia en mars dans les Annales de mathématiques pures et appliquées de Gergonne son premier article, portant sur le développement en fractions continues des racines d'un polynôme, et proposa ses premiers mémoires sur la théorie des équations à l'Académie des sciences le 25 mars et le 1^er juin (voir description ci-dessous). Il se présenta cette année-là à la fois à l'École préparatoire, ancien nom de l'École normale supérieure (rue d'Ulm), et à l'École polytechnique. Le suicide de son père, Nicolas-Gabriel Galois, le 2 juillet 1829, à la suite d'attaques politiques, précéda de peu son deuxième échec à l'entrée de cette dernière^[3].

Galois entra alors à l'École préparatoire. Il obtint en décembre^[2] ses deux baccalauréats (nécessaires pour valider son admission) et, comme tous les élèves de l'École, signa un engagement de dix ans avec l'Université, en février 1830^[2]. Dans les mois qui suivirent, il soumit deux nouveaux articles sur la théorie des équations, ainsi qu'un article sur la théorie des nombres dans le Bulletin de Férussac ; ces articles furent publiés en 1830. Selon la légende, le rapporteur des premiers mémoires, à savoir Cauchy, les aurait égarés. Mais certains historiens des mathématiques, comme René Taton et Tony Rothman, estiment plus vraisemblable que Cauchy aurait refusé de les présenter pour que Galois puisse soumettre au Grand Prix des sciences mathématiques de 1830 un mémoire, révisé, sur la résolubilité des équations algébriques^[4] ; mais le Prix échut à Abel (à titre posthume) et à Jacobi. Le manuscrit de Galois avait été envoyé à Fourier, qui mourut en mai ; le mémoire fut annoncé perdu. Selon un article publié dans le journal Le Globe en juin 1831, Cauchy aurait pourtant mentionné aux membres du jury son intérêt pour les travaux de Galois : « M. Cauchy avait à ce sujet prodigué les plus grands éloges à son auteur »^[5].

La Révolution de juillet 1830 marqua le début de son engagement politique du côté républicain. Les élèves de l'École préparatoire^[6] (dont Galois) furent enfermés pour les empêcher de prendre part à l'insurrection parisienne. À la rentrée, la direction de l'École repoussa leur demande d'avoir des armes et de « s'exercer aux manœuvres militaires, afin de pouvoir défendre le territoire, cas de besoin ». Un texte acerbe contre le directeur de l'École, Guigniault, publié dans la Gazette des Écoles^[7], conduisit en décembre 1830^[8] à l'expulsion de Galois, qui venait d'obtenir sa licence^[2]. À la même période, il semble s'être engagé dans la Société des Amis du Peuple, dont faisait partie l'artillerie de la garde nationale et se consacra dès lors très activement au combat politique.

Galois soumit un autre mémoire à l'Académie sur la résolution des équations polynomiales en janvier 1831. Il ouvrit aussi un cours public d'algèbre supérieure, dont une seule séance semble s'être tenue^[9]. En mai, aux 'Vendanges de Bourgogne', un restaurant de Belleville, au cours d'un banquet organisé pour l'acquittement d'officiers républicains accusés d'avoir disposé d'armes (dont Pescheux d'Herbinville), Galois porta un toast « à Louis-Philippe », mais avec un couteau à la main au-dessus de son verre : arrêté, il passa un mois en prison avant d'être jugé et acquitté^[10] . Galois fut de nouveau arrêté le 14 juillet 1831 pour port illégal de l'uniforme de l'artillerie ; jugé le 23 octobre, il fut condamné cette fois à six mois de prison ; enfermé à Sainte-Pélagie, il y côtoya François-Vincent Raspail qui le décrit dans ses Lettres sur les prisons de Paris, et Gérard de Nerval. D'après son ami et condisciple de l'École normale, Auguste Chevalier (1809-1868), le mémoire de 1831 aurait été soumis à la demande de Siméon Denis Poisson, mais celui-ci le refusa le 4 juillet ; le mémoire lui semblant difficile à évaluer et Galois y ayant annoncé une théorie plus vaste, Poisson suggérait d'attendre la publication de cette dernière : « il arrive que les différentes parties d'une théorie, en s'éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu'isolément ». En prison, Évariste Galois réussit néanmoins à travailler ses mémoires sur les équations et à entamer d'autres recherches sur les fonctions elliptiques.

En mars 1832, Galois fut transféré dans une clinique privée à cause d'une épidémie de choléra. Il semble y avoir rencontré une jeune femme, qui pourrait être Stéphanie Poterin du Motel, et dont il s'éprit d'un amour apparemment malheureux^[11]. Elle lui demanda de rompre le 14 mai. Quelques semaines plus tard, le 30 mai 1832 il affronta en duel Pescheux d'Herbinville (ou Ernest Duchâtelet). Blessé à l'abdomen, Galois fut transporté à l'hôpital Cochin et mourut le 31 mai 1832, à l'âge de 20 ans et 7 mois, probablement d'une péritonite, après avoir refusé les offices d'un prêtre. Le Précurseur de Lyon publie un compte-rendu détaillé de la mort d’Evariste, apportant ces précisions : "Le pistolet étant l'arme choisie par les deux adversaires, ils ont trouvé trop dur pour leur ancienne amitié d'avoir à viser l'un sur l'autre et ils s'en sont remis à l'aveugle décision du sort. À bout portant, chacun d'eux a été armé d'un pistolet et a fait feu. Une seule de ces armes était chargée."

La veille du duel, le 29 mai, il avait rédigé plusieurs lettres adressées à Napoléon Lebon, Vincent Delaunay (des amis républicains) et surtout à Auguste Chevalier^[12]. Cette dernière, restée célèbre, est souvent décrite comme son testament mathématique : Galois enjoint son ami de « prier publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes » qu'il a trouvés et dont il dresse le bilan, et de faire imprimer la lettre dans la Revue encyclopédique, ce que Chevalier fit en septembre 1832^[13]. Galois fut enterré le 2 juin 1832 au cimetière du Montparnasse à Paris en présence de deux à trois mille républicains.

Les papiers d'Évariste Galois, rassemblés par Chevalier et son jeune frère Alfred furent soumis à Joseph Liouville qui recommenda à l'Académie des sciences son principal résultat de la théorie des équations algébriques obtenu en septembre 1843^[14]. Liouville fit ensuite publier les travaux de Galois en 1846 dans son journal, le Journal de mathématiques pures et appliquées, ce qui leur conféra aussitôt un rayonnement international^[15].

Travaux

Liste des articles et mémoires présentés

• Démonstration d'un théorème sur les fractions continues. Annales de Gergonne, Tome XIX, pp. 284-301.

Évariste Galois publia ce premier article à l'âge de 17 ans. Dans cet article, il s'intéressa aux développements, en fractions continues, des racines d'un polynôme. La partie entière a d'un réel x est le premier terme du développement de x ; le second terme b est la partie entière de y = 1 / (x − a) ; le troisième terme est la partie entière de 1 / (y − b) ; et ainsi de suite ... La suite d'entiers ainsi obtenue constitue le développement en fractions continues ; elle est définie de manière unique.
Si le développement en fractions continues d'un réel x est périodique, x se trouve alors défini par un ensemble fini d'entiers. Il était connu depuis les travaux de Joseph-Louis Lagrange que le développement en fractions continues de toute solution d'une équation polynomiale du second degré est périodique ; par exemple le développement de √3 est, après la partie entière 1, alternativement composée de 1 et de 2^[16]. Galois prouva que la période est symétrique si et seulement si le polynôme étudié s'écrit sous la forme aX² − bX − a. De plus, si un polynôme à coefficients réels admet une racine réelle x dont le développement en fractions continues est périodique, alors ce polynôme admet une seconde racine réelle vérifiant la même propriété.
Ce premier travail s'inscrit dans une problématique plus générale : la recherche des solutions d'une équation polynomiale.

Au début du XIX^e siècle, des formules exactes avaient été déterminées pour exprimer les solutions d'une équation polynomiale du second, troisième ou quatrième degré en fonction des coefficients. Se posait la question de recherche des formules générales pour des équations polynomiales de degré supérieur. Joseph-Louis Lagrange avait reformulé la question comme la résolution d'une équation polynomiale par radicaux. Il avait déjà émis l'hypothèse que certaines équations polynomiales ne pouvaient vraisemblablement pas être résolues par radicaux^{[réf. souhaitée]}.

Cette suggestion était basée sur le calcul du nombre d'expressions polynomiales à n variables obtenues par permutation des variables. En 1813, Augustin Louis Cauchy s'était déjà intéressé à cette question et étudia les permutations alors appelées substitutions, travaux précurseurs de la théorie des groupes. Enfin, Abel avait établi l'impossibilité de résoudre par radicaux l'équation générale en degré supérieur à 5.

• Analyse d'un mémoire sur la résolution algébrique des équations. Bulletin de Férussac, Tome XIII, p. 271 (1830)

Galois présente sans démonstrations trois conditions sur la résolution par radicaux d'équations polynomiales primitives. La définition d'un polynôme primitif avait été donné par Cauchy.

• Note sur la résolution des équations numériques. Bulletin de Férussac, Tome XIII, p. 413 (1830).

• Sur la théorie des nombres. Bulletin de Férussac, Tome XIII, p. 428 (1830).

• Sur les conditions de résolution des équations par radicaux. Journal de mathématiques pures et appliquées, pp. 417-433 (1846).

Ce premier mémoire portant sur la théorie des équations fut soumis en juin 1829 (avant son entrée à l'École Préparatoire). Après révision, il fut soumis en février 1830 à Fourier. Ce mémoire fut néanmoins publié en 1846 par Liouville.
Dans ce mémoire, Évariste Galois chercha à étudier la résolubilité des équations polynomiales. Il démontra que les racines d'un polynôme scindé P s'expriment rationnellement en fonction des coefficients et d'un nombre algébrique V obtenu en sommant convenablement les racines. Le polynôme minimal de V est par définition le polynôme unitaire de plus petit degré annulant V et dont les coefficients sont des expressions rationnelles en les coefficients de P. Ses racines, nécessairement distinctes, permettent de déterminer un groupe G de permutations des racines de P. La valeur d'une fonction polynomiale évaluée en les racines de P s'exprime rationnellement en fonction des coefficients de P si et seulement si cette valeur reste inchangée en faisant agir une permutation de G. En particulier, si le groupe est trivial, les racines s'expriment rationnellement en fonction des coefficients de P.
Évariste Galois en déduit que la recherche d'une résolution par radicaux passe par la réduction du groupe associé par adjonctions successives de racines. Cette idée directrice est appliquée dans ce premier aux polynômes irréductibles de degré premier.

• Sur la résolution des équations polynomiales.

Ce second mémoire fut soumis en janvier 1831. D'après Auguste Chevalier, ce mémoire aurait été soumis à la demande de Siméon Denis Poisson qui le refusa le 4 juillet. Dans son court rapport^[17], Poisson compare d'abord les résultats de Galois à ceux d'Abel sur le même sujet, critique la nature des conditions de résolubilité des équations proposées ainsi que la rédaction du texte : « ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude ». Galois ayant annoncé une théorie plus vaste, Poisson suggère d'attendre la publication de cette dernière: « il arrive que les différentes parties d'une théorie, en s'éclairant mutuellement, sont plus faciles à saisir dans leur ensemble qu'isolément », refusant donc le mémoire soumis à l'Académie.

Style de Galois

De son vivant, Galois reçut des critiques sur le manque de clarté de ses mémoires. Dans son court rapport^[18], Poisson compara d'abord les résultats de Galois à ceux d'Abel sur le même sujet, critiqua la nature des conditions de résolubilité des équations proposées ainsi que la rédaction du texte : « ses raisonnements ne sont ni assez clairs, ni assez développés pour que nous ayons pu juger de leur exactitude ». Les mémoires de Galois comportent en effet quelques trous^{[réf. souhaitée]}.

Dans sa préface aux éditions des Œuvres complètes^{[réf. souhaitée]}, Jean Dieudonné est « frappé de l'allure étrangement moderne de [la] pensée [d'Évariste Galois] ». Selon lui, « il est piquant que ses mémoires si concis soient pour nous plus clairs que les filandreux exposés que croyaient devoir en donner ses successeurs immédiats ».

Indépendance des travaux de Galois et d'Abel

Abel et Galois ont pu souvent être comparés d'une part par la « brièveté de leur vie », d'autre part par « le genre de leur talent et l'orientation de leurs recherches »^[19].

Les travaux d'Abel furent publiés dans le premier numéro du Journal de Crelle. Néanmoins, Galois dit ne pas avoir eu connaissance des travaux d'Abel lorsqu'il soumit ses premiers articles en 1829. Il ne put avoir connaissance de ces travaux qu'en octobre à travers la lecture des fragments publiés dans le Bulletin de Férussac. Des lettres posthumes d'Abel adressées à Legendre furent publiées en 1830.

Les travaux de Galois et d'Abel sont indépendants : Galois « n'avait eu qu'en partie connaissance » des travaux d'Abel sur les sujets qui l'intéressaient^[19]. Ce sont à travers des fragments publiés dans le Bulletin que Galois a eu connaissance de ces travaux.

Légende

Dès sa mort dramatique, Évariste Galois a été présenté comme un génie incompris, un valeureux républicain et un mathématicien ignoré de ses contemporains^[20]. Sa vie a été ensuite romancée et déformée dans de nombreuses biographies, qui ont repris ces images et en ont ajouté d'autres, comme celles d'un étudiant frustré ou d'un utopiste : « de nombreux travaux et un film ont été consacrés à l'homme lui-même qui, mélangeant fiction, romance et faits, l'ont présenté comme le prototype du héros incompris et persécuté »^[21]. Dans un registre plus fantaisiste, il est notamment un protagoniste de la série de romans Quand les dieux buvaient de Catherine Dufour.

Les historiens des mathématiques ont tenté ultérieurement de donner un nouvel éclairage à la vie d'Évariste Galois. Ses deux échecs à l'entrée de l'École polytechnique et les difficultés rencontrées à publier certains mémoires ont profondément nourri « ses sentiments de révolte contre tous les symboles du pouvoir politique »^[22]. Son exclusion officielle de l'École Préparatoire en janvier 1831 et le refus de son mémoire en juillet par Poisson (qui participa au conseil qui exclut Galois) rendit Galois « profondément dégoûté par ce qu'il considéra comme une nouvelle preuve de l'incompétence des cercles scientifiques et de leur hostilité à son égard »^[23]. Galois exprime sa colère dans certaines lettres, accusant ouvertement le directeur de l'École préparatoire d'appartenir aux « libéraux doctrinaires » et de faire preuve d'un « pédantisme ordinaire »^[13]. Le ressentiment de Galois a pu être présenté par certains auteurs comme une réelle opposition des mathématiciens de son époque à ses travaux novateurs.

En marge de la proposition II dans le mémoire de 1830 est mentionnée la phrase « Je n'ai pas le temps ». Cette phrase a été interprétée par Auguste Chevalier comme la preuve d'une révision du mémoire effectuée par Galois la veille du duel. Il confirma cette thèse par une correction manuscrite de la proposition III, accompagnée de la date 1832. D'autres ont repris et exagéré cette interprétation. Selon Eric Temple Bell, Évariste Galois aurait rédigé ses travaux sur la résolution d'équations polynomiales par radicaux la veille de sa mort et n'aurait pas eu le temps de donner les détails de la démonstration. Mais « les élucubrations et autres broderies que Bell et ses suiveurs ont ajoutées nous en apprennent davantage sur l'image que se forme le public de Galois que sur Galois lui-même. »

Il est vrai néanmoins que les circonstances exactes du duel restent « fort obscures »^[2]. Différentes hypothèses ont été formulées : certains ont pu l'interpréter comme un duel entre rivaux, un suicide romantique, un complot de la police secrète, qui aurait organisé le duel, un règlement de compte entre révolutionnaires, voire un suicide orchestré à des fins politiques^[24]. Mais la thèse la plus probable est celle d'un « duel imbécile entre amis » (les duels étaient usuels à l'époque).

Dans sa dernière lettre, Galois mentionna : « Gardez mon souvenir, puisque le sort ne m'a pas donné assez de vie pour que la patrie sache mon nom ».

Notes et références

Bibliographies

Les ouvrages et articles notés d'une (*) ont été utilisés dans la rédaction dans l'article. Les autres sont mentionnés à titre purement indicatif.

Œuvres complètes d'Évariste Galois

• Jules Tannery, Manuscripts de Évariste Galois, Paris, Gauthier-Villars, 1908. Disponible en ligne ;
• Collectif, Œuvres mathématiques d'Évariste Galois, Journal de mathématiques pures et appliquées, Tome XI, 1846, pp 381-444.
  Republiées par les éditions Jacques Gabay, 1989.
• Gustave Verriest, Émile Picard, Œuvres mathématiques d'Évariste Galois publiées en 1897. Suivies d'une notice sur Évariste Galois et sur la théorie des équations algébriques, Paris, Gauthier-Villars, 1951.
• (*) Robert Bourgne et Jean-Pierre Azra (éd.), Écrits et mémoires mathématiques d'Évariste Galois, édition critique intégrale de ses manuscrits et publications, Paris, Gauthier Villars, 1962. Rééditée par les Editions Jacques Gabay, 1997.

Biographies

• Paul Dupuy, « La Vie d'Évariste Galois », Annales scientifiques de l'École normale supérieure 3ème série, 13 (1896), 197-266. Réédité par Jacques Gabbay, Paris, 1992. Incluant des pièces justificatives en fac-similé, cette étude est la principale source biographique sur Galois.

Quelques éléments nouveaux ont été rajoutés par la suite, on en trouvera la synthèse, avec divers documents, dans :

• René Taton, « Évariste Galois et ses contemporains », in Présence d'Évariste Galois, Publication de l'APMEP, 48 (1982), pp. 5-39.

Des compléments sur le contexte historique et mathématique figurent dans :

• Laura Toti-Rigatelli, Évariste Galois (1811-1832), Bâle, Birkhäuser, 1996.
• Norbert Verdier (dir.), « Évariste Galois, le mathématicien maudit », Collection Les Génies de la science, Pour la Science, 14, Paris, 2003.

• Alexandre Astruc, Évariste Galois, Flammarion, 1994.
• Jean-Paul Auffray, Évariste (1811-1832), Éditions Aléas, 2003
• Leopold Infeld, Whom the Gods Love (1957) ; traduction française « Le roman d'Évariste Galois », 364 pages, Éditions La Farandole, 1978.

• Bruno Alberro, « Évariste Galois, mathématicien, humaniste et révolutionnaire », Éditions Elan Sud, 2008.

Liens externes

• (fr) Histoire de Galois
• (fr) Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux (1830), texte et analyse sur le site BibNum.
• (fr) The Galois Archive (biographie, lettres et textes dans différentes langues)
• (fr) Lettre de Galois "Sur l'enseignement des sciences"
• (en) Biographie de Galois
• (fr) Évariste GALOIS, mathématicien, humaniste et révolutionnaire

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