Fonction hypergéométrique

Série hypergéométrique

En mathématiques, une série hypergéométrique est la somme d'une suite de termes tels que le quotient du terme d'indice k+1 par le terme d'indice k est une fonction rationnelle de k.

La série, lorsqu'elle converge, définit une fonction hypergéométrique qui peut ensuite être étendue à un domaine plus grand par prolongement analytique. On écrit généralement la série hypergéométrique comme suit :

$\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;x)=\sum_{k=0}^\infty c_k x^k$

où $c 0$ =1 et

$\frac{c_{k+1}}{c_k}=\frac{(k+a_1)(k+a_2)\cdots(k+a_p)}{(k+b_1)(k+b_2)\cdots(k+b_q)}\,\frac{1}{k+1}$ .

On peut aussi l'écrire :

$\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(a_1)_k(a_2)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k(b_2)_k\ldots(b_q)_k}\,\frac{x^k}{k!}$

où $(a)_k=a(a+1)\ldots(a+k-1)$ est la factorielle croissante ou symbole de Pochhammer.

Introduction

Une serie hypergéométrique est une série formelle dans laquelle le quotient des coefficients successifs $\alpha_n/\alpha_{n-1}\,$ est une fraction rationnelle de n : il existe des polynômes $\tilde P(n)$ et $\tilde Q(n)$ tels que

$\frac{\alpha_n}{\alpha_{n-1}} = \frac{\tilde P(n)}{\tilde Q(n)}$

Ainsi, par exemple, dans le cas d'une série géométrique, ce quotient est une constante. Un autre exemple est la serie de Taylor de la fonction exponentielle où

$\alpha_n/\alpha_{n-1}=z/n\,.$

En pratique, la série est écrite comme une série génératrice exponentielle, en modifiant les coefficients pour que le terme général de la série soit de la forme

$\alpha_n = \beta_n z^n /n!\,$

et $β 0 = 1$ . Ici la variable z correspond à une constante dans le quotient $\tilde P/\tilde Q$ . On va se servir de la fonction exponentielle comme modèle pour la suite.

De nombreuses suites intéressantes en mathématiques ont la propriété que le quotient de deux termes successifs est une fraction rationnelle. Cependant, lorsqu'on les encode dans une série génératrice exponentielle, celle-ci a un rayon de convergence non nul seulement sous certaines conditions. Par convention, le terme de série hypergéométrique est d'ordinaire réservé au cas où la série definit une vraie fonction analytique avec un rayon de convergence strictement positif. Une telle fonction et son prolongement analytique éventuel est appelée une fonction hypergéométrique.

Des conditions de convergence ont été données par Carl Friedrich Gauss, dans le cas de

$\frac{\beta_n}{\beta_{n-1}} = \frac{(n+a)(n+b)}{(n+c)}$ ,

qui correspond à la série hypergéométrique standard classique

$\,_2F_1(a,b;c;z).$

Notation

La notation standard pour la série hypergéométrique générale est

$\,_mF_p$ ,

où les entiers m et p sont les degrés des polynômes P et Q dans le quotient

$\frac{\beta_n}{\beta_{n-1}} = \frac{P(n)}{Q(n)}.$

Si m>p+1, le rayon de convergence est nul et il n'y a pas de fonction analytique associée. La série se termine au bout d'un nombre fini de termes si jamais P(n) s'annule en un entier naturel n. Si Q(n) est nul, les termes de la suite ne sont pas définis.

La notation complète pour F suppose que P et Q sont unitaires et factorisés, de telle sorte qu'elle comprend un m-uplet qui est la liste des zéros de P et un p-uplet pour ceux de Q. Par le théorême fondamental de l'algèbre, ceci n'est pas vraiment une restriction. Par ailleurs, on peut aussi absorber les coefficients dominants de P ou Q en changeant z. Sous cette forme, le terme général de la suite est un produit de quotients de symboles de Pochhammer. Comme la notation de Pochhammer pour les factorielles ascendantes est traditionnelle, il est plus commode d'indexer F par les listes des opposés des zéros de P et Q. Ainsi, on a

$\,_2F_1 (a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {z^n} {n!}$

où $(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\,$ est la factorielle croissante ou Symbole de Pochhammer. Dans cet exemple, les zéros de P sont −a et −b, et le zéro de Q est −c.

Cas particuliers et applications

Les polynômes orthogonaux classiques s'expriment tous comme des cas particuliers de $2 F 1$ avec au moins un des parametres a et b entier negatif. De même, les fonctions de Legendre sont aussi des cas particuliers.

Les applications des séries hypergéométriques comprennent aussi l'inversion des intégrales elliptiques.

La fonction de Kummer ₁F₁(a,b;x) est une fonction hypergéométrique confluente.

La fonction $2 F 1$ a plusieurs representations intégrales, dont l'intégrale hypergéométrique d'Euler.

Histoire et généralisations

Les travaux du XIX^e siècle comprennent ceux de Ernst Kummer et la caractérisation fondamentale par Bernhard Riemann de la fonction F par le biais de l'équation différentielle qu'elle vérifie. Riemann a démontré que l'équation différentielle du second ordre (en la variable z) pour F, considérée dans le plan complexe, pouvait être caractérisée (sur la sphère de Riemann) par ses trois singularités régulières : que toute la partie algorithmique de la théorie était une conséquence de résultats de base et de l'usage des transformations de Möbius comme groupe de symétrie.

Par la suite, les séries hypergéométriques ont été généralisées au cas de plusieurs variables complexes, par exemple par Paul Appell, mais une théorie générale comparable a mis du temps à apparaître. De nombreuses identités ont été découvertes, dont quelques unes remarquables. Des analogues avec un paramètre q ont été trouvées. Durant le XX^e siècle, les fonctions hypergéométriques ont formé une partie active des mathématiques combinatoires, avec de nombreuses interactions avec les autres domaines. Il y a plusieurs définitions nouvelles de généralisations des fonctions hypergéométriques, notamment par Aomoto et Israel Gelfand. Il y a des applications à la combinatoire des arrangements d'hyperplans.

On peut définir des séries hypergéométriques sur des espaces symétriques riemanniens et sur des groupes de Lie semi-simples. Leur importance transparait dans l'exemple suivant : la série hypergéométrique ₂F₁ est très proche des polynômes de Legendre et exprime, vue comme harmonique sphérique, les propriétés de symétrie de la sphère de Riemann.

Voir aussi

Identités hypergéométriques.

Portail des mathématiques

Ce document provient de « S%C3%A9rie hyperg%C3%A9om%C3%A9trique ».

Catégories : Analyse | Fonction hypergéométrique | Série | Fonctions spéciales

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction hypergéométrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

fonction hypergéométrique — hipergeometrinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hypergeometric function vok. hypergeometrische Funktion, f rus. гипергеометрическая функция, f pranc. fonction hypergéométrique, f … Fizikos terminų žodynas
Fonction hypergéométrique confluente — La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) est : où (a)n est symbole de pochhammer Elle est solution de l équation différentielle d ordre 2 : Les fonctions de Bessel, les fonctions gamma incomplètes, les fonctions… … Wikipédia en Français
Fonction Gamma — Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction g … Wikipédia en Français
Fonction Gamma d'Euler — Fonction gamma Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie). Tracé de la fonction gamma le long de l axe des réels En mathématiques, la fonction g … Wikipédia en Français
Fonction Beta — Fonction bêta En mathématiques, la fonction bêta est un type d intégrale d Euler définie pour tous complexes x et y par si et . La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la… … Wikipédia en Français
Fonction beta — Fonction bêta En mathématiques, la fonction bêta est un type d intégrale d Euler définie pour tous complexes x et y par si et . La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la… … Wikipédia en Français
Fonction De Hankel — Les fonctions de Hankel, du nom du mathématicien Hermann Hankel, notées et , sont des fonctions spéciales de la physique mathématique. Ce sont les solutions linéairement indépendantes de l équation de Bessel: où α est un nombre arbitraire réel ou … Wikipédia en Français
Fonction de hankel — Les fonctions de Hankel, du nom du mathématicien Hermann Hankel, notées et , sont des fonctions spéciales de la physique mathématique. Ce sont les solutions linéairement indépendantes de l équation de Bessel: où α est un nombre arbitraire réel ou … Wikipédia en Français
Fonction De Bessel — Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l équation différentielle de Bessel : pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus… … Wikipédia en Français
Fonction De Kummer — En mathématiques, il existe plusieurs fonctions connues sous le nom fonction de Kummer. L une d elle est connue comme la fonction hypergéométrique confluente de Kummer et de E. T. Whittaker. Une autre, définie ci dessous, est reliée à la fonction … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Fonction hypergéométrique

Série hypergéométrique

Sommaire

Introduction

Notation

Cas particuliers et applications

Histoire et généralisations

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Fonction hypergéométrique

Série hypergéométrique

Sommaire

Introduction

Notation

Cas particuliers et applications

Histoire et généralisations

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link