Flot (mathématiques)

Ce schéma représente le flot associé à l'équation différentielle d'un pendule. Les abscisses représentent la position et les ordonnées la vitesse.

Le flot, coulée ou encore courant est, en mathématiques, un concept utilisée en géométrie différentielle. Il est associé à la notion de champ de vecteurs, c'est-à-dire à une fonction f, qui à un point x d'un ouvert Ω d'un espace vectoriel complet E (plus précisément, d'un espace de Banach), associe un vecteur de E. Un tel champ définit une équation différentielle du type α'(t)= f(α(t)). Si la fonction f est localement lipschitzienne, pour chaque point x de U, il existe un intervalle réel maximal et une fonction α_x, définie sur l'intervalle maximal, solution de (1) avec la condition dite de Cauchy α_x(0) = x. Vue comme une fonction de deux variables, t et x, l'application α est appelée le flot du champ de vecteurs f. Cette définition se généralise dans le cas d'un champ de vecteurs temporel (c'est-à-dire dépendant d'une variable t qui prend ses valeurs dans R) et dépendant d'un paramètre λ. Le flot et le champ de vecteurs deviennent des fonctions de trois variables : t, x et λ.

Si le champ de vecteurs f est régulier, le flot est le support de plusieurs théorèmes, piliers de la théorie des équations différentielles. Si la fonction f est de classe C^p, le flot l'est aussi. Ce résultat est parfois considéré comme une forme avancée du théorème de Cauchy-Lipschitz. Si la fonction f ne dépend pas du temps, le théorème du redressement du flot indique que, localement, le champ de vecteurs est équivalent à un champ constant et cette équivalence transforme le flot en une fonction qui à (x, t) associe x + t.v, si v est l'unique image du champ constant.

Le flot est utilisé dans diverses branches des mathématiques. En analyse qualitative des équations différentielles, il est le cadre d'expression de théorèmes, comme celui de Poincaré-Bendixson. On trouve la notion de flot de manière générale dans l'étude d'un système dynamique continue. En topologie algébrique, il est utilisé pour démontrer le théorème de la boule chevelue ou encore celui du point fixe de Brouwer ; des applications plus avancées définissent des flots caractéristiques de la géométrie des objets étudiés, tels que le flot de Ricci, outil de base utilisé par Grigori Perelman pour démontrer la conjecture de Poincaré. L'usage du flot dépasse le cadre strict des mathématiques ; ainsi, le flot de Ricci est à l'origine d'un des modes d'expression des équations de la relativité générale en physique.

Définitions

Introduction

Dans la suite de l'article, E désigne un espace de Banach et Ω un ouvert de E. Le symbole (1) désigne l'équation différentielle x' = f(x), où f est fonction définie sur Ω et à valeurs dans E et (2) l'équation x' = f(t, x). Dans le cas de l'équation (2), Ω désigne un ouvert de et f est toujours une fonction définie sur Ω et à valeurs dans E. Dans les deux cas, la fonction f est localement lipschitzienne. La condition de Cauchy appelée C dans l'article, est celle que vérifie une solution s de l'équation. Dans le cas de (1) elle signifie que s(0) = x₀, dans le cas (2) les notations choisies sont : s(t₀) = x₀^{[Note 1]}. Il existe un troisième cas, plus général et qui permet en particulier l'étude des singularités de certaines équations différentielles. L'équation (3) désigne la suivante : x' = f(t, λ, x). Dans ce cas Ω est un ouvert de est encore un espace de Banach et f est toujours localement lipschitzienne.

Le flot permet de formaliser un vocabulaire adapté pour l'étude de deux questions concernant les équations différentielles : la sensibilité à la condition initiale et le comportement asymptotique. Ces questions sont au cœur d'une branche mathématique appelée système dynamique.

Si la condition initiale, dite condition de Cauchy, est un peu modifiée, il se peut que la solution de l'équation soit de plus en plus éloignée de la courbe intégrale originelle, si la variable t augmente. Tel est le cas, par exemple pour les systèmes chaotiques. L'étude de la régularité du flot apporte des premiers éléments de réponse.

Dans certaines conditions et pour une condition initiale donnée, la solution se prolonge à l'infini et se stabilise plus ou moins. Elle peut converger vers une valeur, s'approcher de plus en plus d'un comportement périodique, diverger ou encore adopter un comportement différent et appelé chaotique. L'étude de ces différents comportements est l'objet de la seconde question.

Sensibilité à la condition initiale

Pour l'étude de la sensibilité initiale, on étudie les flot locaux ou globaux, qui permettent d'énoncer une version plus forte du théorème de Cauchy-Lipschitz.

L'étude de la sensibilité à la condition initiale, impose un vocabulaire et une représentation géométrique un peu différents de ceux utilisés dans les approches plus élémentaires. Pour en comprendre l'origine de cette différence, le plus simple est de considérer le cas d'une équation différentielle autonome, c'est-à-dire de type (1), d'imaginer que Ω est un plan d'eau et que R représente le temps. le plan d'eau est agité par un courant, représenté par la fonction f, appelé champ de vecteurs. En dimension 2, on représente ce champ de vecteurs en associant à certains points x de Ω une représentation graphique du vecteur f(x), à l'image de la figure de droite. Une courbe intégrale satisfaisant à la condition de Cauchy C peut s'imaginer comme la trajectoire d'un bouchon placé dans l'eau à l'instant initial 0 et à la position x₀. Pour connaître d'un seul coup toutes les solutions de l'équation différentielle, il suffit de connaître le mouvement de la surface de l'eau, appelé flot, coulée ou encore courant^[1]. Dans le cas général de l'équation (2), c'est-à-dire celui où l'équation n'est pas nécessairement autonome, on dispose de la définition suivante :

Soit U un voisinage de x₀ tel que {t₀}xU soit inclus dans Ω et J un intervalle ouvert contenant t₀. Un flot local est la donnée d'une application β_t0 de JxU dans E tel que pour tout x de U, l'application de J dans E, qui à t associe β_t0(t, x) soit une courbe intégrale de condition de Cauchy (t₀, x) (c'est-à-dire que β_t0(t₀, x) = x)^[2].

Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence de courbes intégrales maximales. C'est-à-dire que, pour une condition de Cauchy donnée, il existe un intervalle maximal, une unique solution de l'équation définie sur cet intervalle et vérifiant la condition de Cauchy. Ce résultat permet d'enrichir les définitions associées au flot.

Soit x un point de E et J_x l'intervalle égal au domaine de définition de la solution maximale satisfaisant la condition de Cauchy (t₀, x), qui peut être vide si, par exemple, (t₀, x) n'est pas élément de Ω. On note D(f) et on appelle domaine de définition du flot global l'ensemble des couples (t, x) de RxE tel que t soit un élément de J_x.

Le flot global de f est l'application α_t0 de D(f) dans E, telle que l'application qui à t associe α_t0(t, x) soit la solution maximale de (2) associée à la condition de Cauchy (t₀, x)^[3].

Dans toute la suite de l'article α désigne le flot globale du champ vectoriel f. Si α ne comporte pas d'indice, cela signifie que la fonction qui à t associe α(t, x) est la courbe intégrale maximale s vérifiant la condition de Cauchy : s(0, x) = x. Sinon α_t0 désigne le flot global vérifiant α_t0(t₀, x) = x

Comportement asymptotique

La deuxième question concerne le comportement asymptotique^[4] du flot, autrement dit ce qui se passe une fois le système stabilisé, si jamais il se stabilise. Pour la traiter, un vocabulaire spécifique existe, il suppose en général que l'équation différentielle est choisie autonome^{[Note 2]}, c'est-à-dire que le champ de vecteurs ne dépend pas du temps et que l'équation différentielle associée soit de type (1).

Un ensemble invariant par le flot^[5] α est un sous-ensemble A de Ω tel que si a est élément de A et si t est tel que (t, a) soit élément du domaine de définition du flot, α(t, a) soit aussi élément de A.

Pour reprendre la métaphore de l'introduction, un ensemble A invariant par le flot est tel qu'un bouchon placé initialement en A reste toujours en A. Pour l'étude des systèmes dynamiques, les ensembles invariant jouent un peu le même rôle que les connexes en topologie élémentaire^[6]. Si une trajectoire entre dans un ensemble invariant, elle n'en sort plus. On peut alors limiter l'étude à cette zone pour déterminer le comportement asymptotique. Il existe de nombreux exemples d'ensembles invariants par le flot, l'orbite en est un.

L'orbite^[5] ou la trajectoire d'un point x de Ω est l'ensemble des points de l'image d'une courbe intégrale maximale passant par x.

Une orbite telle que la courbe intégrale associée tende vers une valeur si t tend vers plus et moins l'infini est dite hétérocline si les deux limites sont distinctes et homocline sinon. Si la courbe intégrale est périodique, l'orbite est dite périodique.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que les différentes orbites forment une partition de Ω. L'orbite n'est pas l'unique ensemble invariant par le flot étudié :

Un point de x de Ω est dit, point d'équilibre, point fixe ou point stationnaire^[5] s'il existe une courbe intégrale maximale ayant pour image x ou encore si x est un zéro de la fonction f. S'il existe un ensemble d'intérieur non vide et contenant x tel que toute courbe intégrale maximale ayant une intersection non vide avec ce voisinage converge vers x, le point est dit attractif.

Un point d'équilibre x_e est un point sans courant, ou encore un point tel que, si l'on y place le bouchon, il reste indéfiniment immobile. Deux comportements différents peuvent se produire, le point peut être attractif ou non. Il peut exister une zone pas trop petite (d'intérieur non vide) tel que tout point dans cette zone finit par s'immobiliser en x_e. Ce point semble attirer les trajectoires vers lui, pour cette raison, on parle de point attractif. Sinon, tout point se rapprochant de x_e finit par s'éloigner, ce point d'équilibre est alors instable et il faut positionner le bouchon exactement sur le point pour qu'il y reste immobile. On parle d'équilibre instable. Dans le cas général, d'autres comportements que la convergence sont possibles :

Soit x un point de Ω dont la courbe intégrale maximale est définie sur R. L'ensemble ω-limite^[7] de x, noté ω(x) est l'intersection des adhérences des sections finissantes de l'image de la courbe intégrale maximale vérifiant la condition de Cauchy s(0) = x.

Cet ensemble est encore invariant par le flot, il correspond à la zone limite parcourue par la trajectoire si t devient très grand. La même définition s'applique dans le cas où x devient très petit, on parle d'ensemble α-limite.

Un exemple d'ensemble ω-limite est celui où le bouchon finit par parcourir indéfiniment un cercle, par exemple autour d'un tourbillon. Le comportement asymptotique de la courbe intégrale est celui d'une fonction périodique.

Une notion connexe est celle d'attracteur. L'attracteur futur est le plus petit ensemble contenant tous les ensembles ω(x) si x décrit Ω, à l'exception, peut-être d'un ensemble de mesure nulle. L'attracteur passé correspond à la même définition, mais cette fois-ci avec les ensembles α-limite^[4].

Sensibilité à la condition initiale

Résumé

Dans sa version élémentaire, le théorème de Cauchy-Lipschitz montre l'existence et l'unicité d'une courbe intégrale maximale, cependant aucune information ne concerne la sensibilité à la condition initiale. Il est possible de pallier cette faiblesse :

• Le domaine de définition ainsi que le flot global α_t0 est unique et il est continu, de classe C¹ par rapport à la première variable et localement lipschitzien. Le domaine de définition est ouvert^[8].

• Si la fonction f est de classe C^p, il en est de même du flot global α_t0^[9].

L'unicité du flot s'entend avec la condition de Cauchy α_t0(t₀, x) = x pour tout x tel que (t₀, x) soit élément du domaine de définition du flot global. Modifier la valeur de t₀ correspond à définir un nouveau flot. Cependant ce nouveau flot n'apporte pas d'information supplémentaire, il correspond au précédent, à une translation de la première variable près.

Pour certaines études, comme celles analysant des singularités de courbes intégrales, il est utile d'ajouter un paramètre à l'équation, qui prend la forme : x' = f(t, x, λ). Le flot global dépend alors du paramètre λ, choisi dans un Banach F. La question est celle de la régularité du flot global en fonction du paramètre. Le théorème décrivant cette situation est parfois dénommé théorème de Cauchy-Lipschitz : cas non autonome avec paramètre^[10]. Si la fonction f est de classe C^p, le flot, considéré comme une application d'un ouvert de RxExF est aussi de classe C^p.

Continuité du flot local

Dans un premier temps, on étudie le cas de l'équation (1), c'est-à-dire celui d'une équation différentielle autonome. L'objectif est d'établir la continuité locale d'un flot, c'est-à-dire d'analyser ce qui se passe si la condition de Cauchy est peu modifiée. On souhaite définir une fonction β sur un voisinage d'un couple (0, x₀), avec x₀ élément de Ω, telle que l'application qui à t associe β(t, x) soit une solution de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy β(t, x) = x.

Soit a un réel strictement positif et B la boule fermée de centre x₀ et de rayon a. La valeur a est choisie telle que la boule fermée de centre x₀ et de rayon 2.a soit incluse dans Ω et telle que la restriction à cette boule de la fonction f soit k-lipschitzienne, avec k strictement supérieur à 0^{[Note 3]}. Soit m un majorant strictement positif de la norme de f sur la zone considérée, qui existe car f est lipschitzienne sur cette zone. Soit enfin b un réel strictement positif, strictement plus petit que a/m et que m/((1 + m)k). Ce réel b permet de définir un espace de fonctions G sur lequel on construit une application Ψ satisfaisant au théorème du point fixe. Soit G l'ensemble des fonctions définies sur [-b, b]xB, à valeurs dans la boule fermée de centre x₀ et de rayon 2.a, continues, m+1-lipschitziennes par rapport à la deuxième variable et telles que l'image d'un point (0, x) soit égal à x, si x est un élément de B.

• Lemme 1 : Muni de la norme de la convergence uniforme, G est un espace complet.

On considère une application Ψ, qui à une fonction u de G associe la fonction Ψ_u, définie par :

Dire qu'une fonction β est un flot sur [-b, b]xB est équivalent à dire que β est un point fixe de Ψ.

• Lemme 2 : L'application Ψ est à valeurs dans G et est contractante.

On en déduit l'existence et l'unicité d'un point fixe β c'est-à-dire d'un flot local au voisinage de (0, x). Comme le point fixe est élément de G, il est continu et lipschitzien par rapport à la deuxième variable. Le fait que β soit un point fixe montre que :

Les fonctions f et β étant continues, β est dérivable par rapport à t, ce qui montre que β est lipschitzienne et termine la démonstration de la proposition suivante :

• Proposition : Soit x₀ un élément de Ω, il existe un voisinage de (0, x₀) tel qu'il existe un unique flot local associé à l'équation (1) et défini sur ce voisinage. Ce flot est continu, lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable^[11].

Démonstrations des lemmes

• Muni de la norme de la convergence uniforme, G est un espace complet :

L'espace des fonctions continues définies sur [-b, b]xB et à valeurs dans la boule fermée de rayon 2.a et de centre x₀, muni de la norme de la convergence uniforme, est complet (car l'ensemble d'arrivée des fonctions de cet espace l'est). Il suffit donc de montrer que G est fermé dans cet ensemble, pour la topologie de la convergence uniforme. En fait il l'est déjà pour la topologie de la convergence simple, comme intersection des fermés suivants :

• pour tout point x de B, l'ensemble des fonctions u telles que u(0,x)=x
• pour tout réel t de [-b, b] et toute paire {x,y} de points de B, l'ensemble des fonctions u telles que ||u(t,x)-u(t,y)|| soit inférieur ou égal à (1+m)||x-y||.

• L'application Ψ prend ses valeurs dans G :

La majoration suivante permet de conclure que Ψ_u est bien à valeurs dans la boule fermée de centre x₀ et de rayon 2.a, car b est choisi strictement plus petit que a/m :

On remarque que l'image de (0, x) par Ψ_u est bien égal à x. Montrons que Ψ_u est une application continue, soit (t, x) et (t+δt, x+δx) deux points du domaine de définition de Ψ_u :

On en déduit :

Le deuxième terme de droite est majoré car u est m+1-lipschitzien par rapport à la deuxième variable et f est k lipschitzien. Le troisième terme l'est car f est une fonction bornée par m. Le fait que b soit strictement plus petit que m/(k(m + 1)) montre la majoration suivante

Cette majoration montre que Ψ_u est une fonction continue. Le caractère lipschitzien par rapport à la deuxième variable se vérifie en choisissant δt égal à 0. On remarque de plus qu'une image par Ψ est aussi lipschitzienne (par rapport aux deux variables).

• L'application Ψ est contractante :

Soit u et v deux applications de G, on dispose des majorations :

Comme b.k est strictement plus petit que 1, la fonction est bien contractante.

Équation différentielle non autonome

A l'aide d'un habile jeu d'écriture^[12], il est possible de généraliser le cas particulier précédent aux équations dépendantes du temps. On considère maintenant l'équation (2) du théorème, associée à la condition de Cauchy C. Soit g, la fonction de Ω dans le Banach RxE, définie par :

Si y₀ désigne le point de Ω égal à (t₀, x₀), on considère l'équation différentielle et la condition de Cauchy suivante :

La fonction g est localement lipschitzienne car f l'est. En effet, si y est un élément de Ω, il existe un voisinage V de y et un réel k strictement positif associée à f tel que, si les coordonnées d'un point y₁ (resp. y₂) de V, sont notées ((t₁, x₂) (resp. (t₂, x₂)), on a :

L'équation (4) est bien une équation différentielle autonome, le paragraphe précédent assure l'existence et l'unicité d'un flot local. Soit β_g(τ, y) la solution locale de l'équation (4) autour du point y₀. On dispose des égalités, si β_2 g désigne la deuxième coordonnée de β_g :

Soit β_t0 la fonction qui à (t, x) associe la valeur de la fonction β_2 g au point (t - t₀, (t₀, x)). Les égalités suivantes montrent que β est bien le flot local de l'équation (2), défini sur un voisinage de (t₀, x₀), et contenant la courbe intégrale locale de l'équation (2) avec la condition de Cauchy C :

• Proposition : Soit (t₀, x₀) un élément de Ω, il existe un voisinage de (t₀, x₀) tel qu'il existe un unique flot local associé à l'équation (2) et défini sur ce voisinage. Ce flot est continu, lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable.

Équation différentielle avec paramètre

On souhaite maintenant étudier le cas d'un flot local associé à l'équation :

Le paragraphe précédent montre que l'on peut se ramener au cas de l'équation différentielle autonome : x' = f(λ, x). On suppose maintenant que λ est élément d'un Banach F et Ω est un ouvert de FxE et f est une fonction localement lipschitzienne définie sur Ω. Le couple (λ₀, x₀) est un élément de Ω. La même astuce que celle du paragraphe précédent permet de montrer l'existence locale d'un flot dépendant maintenant de trois variables t, λ et x au voisinage de (0, λ₀, x₀). Ce flot local est lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable^[8]. Soit g, la fonction de Ω dans le Banach FxE, définie par :

Avec le même raisonnement que le paragraphe précédent, on montre l'existence d'un flot local β_g défini au voisinage du point (0, λ₀, x₀) et à valeurs dans FxE tel que :

On définit de même le flot β qui à (t, λ, x) associe la valeur de la fonction β_2 g au point (t, (λ, x)). Les égalités suivantes montrent que β est bien le flot local de l'équation du paragraphe, défini sur un voisinage de (0, λ₀, x₀), et contenant la courbe intégrale locale de l'équation considérée, avec la condition de Cauchy (0, x₀)  :

Avec le paragraphe précédent, on en déduit la formulation générale :

• Proposition : Soit f une fonction localement lipschitzienne définie sur Ω un ouvert de RxFxE et (t₀, λ₀, x₀) un élément de Ω, il existe un voisinage de (t₀, λ₀, x₀) tel qu'il existe un unique flot local associé à l'équation (3) et défini sur ce voisinage. Ce flot est continu, lipschitzien et dérivable par rapport à la première variable.

Régularité du flot local

Les démonstrations associées à la régularité du flot ont pendant longtemps étés un peu complexes. De manière indépendante Pugh et Robbin ont trouvé une démonstration élémentaire utilisant le théorème des fonctions implicites^[13]. Une fois encore, l'équation considérée est celle notée (1), c'est-à-dire que la paragraphe ne traite que d'une équation différentielle autonome. Les deux paragraphes précédents montre que traiter ce cas particulier implique le cas général de l'équation non autonome avec paramètre.

Soit x₀ un élément de U, b un réel strictement positif tel qu'il existe un flot local β défini sur l'ensemble [-b, b]xU. Dans ce paragraphe, G désigne le Banach des fonctions continues de [-b, b] à valeurs dans E, la norme du Banach est celle de la convergence uniforme. Enfin, V est le sous-ensemble des fonctions de G dont l'image est incluse dans U. On remarque que V est un ouvert de E. En effet, si f est un élément de G, l'image de f, encore notée f([-b, b]), est un compact inclus dans U, la distance δ de ce compact au complémentaire de U dans E est un réel strictement positif et la boule de centre f et de rayon δ/2 est inclus dans V. Ceci montre que pour tout élément f de V, il existe une boule de centre f et de rayon strictement positif inclus dans V et, par voie de conséquence, que V est ouvert.

On considère l'application T_b de UxV dans G définie par :

Dire qu'un couple (x, σ) est un zéro de la fonction T_b revient à dire que σ est une solution locale de l'équation (1) avec la condition de Cauchy σ(0) = x.

On dispose du lemme suivant :

• Lemme 1 : Il existe un réel b strictement positif tel que la fonction T_b soit de classe C¹ et satisfasse les hypothèses du théorème des fonctions implicites.

Cela signifie que la fonction implicite, donnée par l'équation T_b(x, σ) = 0 est définie localement. Or un élément du graphe de cette fonction implicite possède pour deuxième coordonnée, une solution locale σ de l'équation (1) avec la condition de Cauchy σ(0) = x et définie sur le domaine domaine [-b, b]. Autrement dit, la fonction qui à x associe β(., x) est de classe C¹, ce qui permet de déduire un premier résultat :

• Lemme 2 : Si la fonction f est de classe C¹, le flot local β l'est aussi.

La deuxième différentielle partielle de β vérifie une équation différentielle non autonome. Le paragraphe traitant de ce type d'équation montre qu'elle peut se ramener à une équation autonome, ce qui permet de montrer que la différentielle de β est aussi de classe C¹, puis par récurrence, on montre que si f est de classe C^p. Le paragraphe sur les équations différentielles avec paramètres montre que ce résultat se généralise aux équations de type (3) :

• Proposition : Si une fonction f définissant une équation différentielle non nécessairement autonome et à paramètre est de classe C^p, il existe un ouvert contenant (t₀, λ₀, x₀) et le flot local défini sur cet ouvert est de classe C^p[9].

Démonstrations

• Il existe un réel b strictement positif tel que la fonction T_b soit de classe C¹ et satisfasse les hypothèses du théorème des fonctions implicites :

Dans un premier temps, il est nécessaire de montrer que T_b est de classe C¹, ce qui est équivalent à montrer que les deux différentielles partielles de T_b, par rapport à x et par rapport à σ, existent et sont continues. La première, D₁ (celle par rapport à x) est égale à l'application constante Id où Id désigne l'opérateur identité de E dans E. Montrer l'existence de la deuxième différentielle partielle, revient à montrer la différentiabilité de l'application qui à σ associe une primitive de la fonction t → f(σ(t), car le terme restant est affine par rapport à σ et donc différentiable. L'objectif est de montrer que, si h désigne une application de G :

Pour établir cette égalité, calculons une majoration de l'expression Δ, si :

La définition de la différentielle montre l'existence d'une fonction continue ε_σ(τ)(h(τ)), avec σ(τ) élément de σ([-b, b]), qui vaut 0 si h est égal à 0 et vérifiant l'égalité :

La fonction ε peut être vue comme une fonction à deux variables réelles σ(τ) et h(τ), continue et tel que ε_σ(τ)(0) soit nul. Il existe un voisinage compact produit de l'intervalle [σ(-b), σ(b)] et d'un voisinage compact de 0 sur lequel la fonction ε est définie et continue. Le fait que ε_σ(τ)(0) soit nul montre que l'on peut choisir le voisinage de 0 tel que la fonction ε soit bornée par une valeur strictement positive μ arbitrairement petite. Ce qui s'écrit, à l'aide de la continuité uniforme de ε :

On en déduit :

Cette majoration permet le calcul de la deuxième différentielle partielle. En effet :

Ce qui montre l'existence de la deuxième différentielle partielle et donne l'expression :

La deuxième différentielle partielle est une fonction indépendante de la première variable x et continue en la deuxième variable σ car l'application f est continument différentiable. La deuxième différentielle partielle est donc aussi continue, comme la première l'est, l'application T_b est bien continument différentiable.

Il reste à montrer que la deuxième différentielle partielle au point x est bijective et que son inverse est continue. La fonction de [-b, b], qui à τ associe Df_σ(τ) est continue et définie sur un compact, elle atteint sa borne supérieure, notée ici C. Ceci montre qu'au point x, D₂T_b est la somme de l'opposé de l'identité et d'une application u de norme inférieure ou égale à b.C. Si b est choisi suffisamment petit, la norme de u est inférieure à 1/2. Dans ce cas et au point x, D₂T_b, qui est égal à -Id + u, est inversible d'inverse continu car :

Les deux différentielles partielles de T_b existent et sont continues, ce qui montre que T_b est continument différentiable, si b est choisi suffisamment petit, la deuxième différentielle partielle de T_b est inversible au point x, les hypothèses du théorème des fonctions implicites sont bien réunies.

• Si x₀ est un élément de U, il existe un voisinage ]-b, b[xU_x0 de (0, x₀) tel que le flot local β défini sur ce voisinage soit de classe C¹ :

Si x₀ est un élément de U, le théorème des fonctions implicites indique l'existence d'un voisinage U_x0 de x₀ et d'une fonction de classe C¹, notée Ψ, de U_x0 dans V tels que l'équivalence suivante soit vérifiée :

Or l'égalité T_b(x, σ) = 0 signifie que σ est une solution locale de l'équation différentielle avec la condition de Lipschitz σ(0) = x. Dit autrement :

Soit x un élément de U_x0 et h un élément de E tel que x + h soit aussi élément de U_x0. La définition du fait que Ψ soit différentiable se traduit par :

Ce qui s'écrit encore :

La dernière majoration montre que le flot local β admet bien une différentielle partielle par rapport à sa seconde variable et qu'elle est égale au point (t, x) à h → DΨ_x(h)(t). Cette différentielle partielle est continue, les deux différentielles partielles de la coulée sont continues (la première est égale à la dérivée d'une courbe intégrale), la fonction β est bien de classe C¹.

• Si f est de classe C^p le flot local β l'est aussi :

Le flot β vérifie l'égalité :

La première dérivée partielle de β vérifie l'égalité :

Elle est composée de fonctions de classe C¹ et est donc de classe C¹.

Le fait que f et β soit tous deux de classe C¹ autorise une dérivation sous le signe somme, et :

En différentiant par rapport à la première variable t, on obtient :

On en déduit que D₂β_{t, x} est solution d'une équation différentielle non autonome de type (2), définie par un champ de vecteurs temporel de classe C¹. On en déduit que D₂β_{t, x} est une application de classe C¹. les deux différentielles partielles de Dβ sont de classe C¹, ce qui montre que β est de classe C². En poursuivant par récurrence, on achève la démonstration de la proposition.

Régularité du flot global

Un flot discontinu ne peut pas se produire si le champ de vecteurs le définissant est continu et défini sur un ouvert.

Pour généraliser les propriétés au flot global, il reste encore un peu de travail. Il s'agit surtout de montrer que la configuration de droite ne peut pas se produire. En reprenant la métaphore de l'introduction, on suppose que l'étang contient un rocher. Sur la zone rouge, le flot contourne le rocher, sur la zone bleu il passe tout droit. Le flot possède alors des points de discontinuité. Pour s'en rendre compte, on considère l'évolution d'un voisinage d'un point symbolisé par une zone grise circulaire à un instant 0, sur la figure de droite. Ce point est situé à la frontière des deux zones. À l'instant t₀, ce voisinage est découpé en deux parties éloignées l'une de l'autre. Cette configuration peut se produire, par exemple si Ω n'est pas un ouvert. En revanche, dans les hypothèses étudiées, cette configuration est impossible.

Certaines propriétés sont plus simples à démontrer que la continuité. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous sa forme élémentaire garantit à la fois l'existence et l'unicité du flot global α et de son domaine de définition. Il assure aussi que le flot global est dérivable par rapport à la première variable et que la dérivée partielle, considérée comme une fonction de t, est continue. Le paragraphe précédent apporte aussi des informations. Il établit que si t est proche de 0 et si t et x varient peu, le flot est de classe C^p, si f l'est. En revanche, la continuité du flot global α suppose aussi que l'expression α(t, x) soit continue en x, même si t n'est pas proche de 0. On a supposé ici que (t, x) est un point du domaine de définition de α.

Une remarque est utile, valable uniquement pour les équation autonomes. Le point β(s, x) désigne la position, à l'instant s, du point qui était en x à l'instant 0. Le point β(t, β(s, x)) désigne la position à l'instant t, du point qui était en β(s, x), à l'instant 0. Il désigne aussi la position à l'instant s + t du point qui était en position x à l'instant s. Ce qui signifie, si les différentes valeurs sont dans les bons domaines de définitions :

Ainsi, si les domaines de définitions s'y prêtent, il est possible de combiner les flots locaux, pour en construire un plus vaste. Cette technique permet de munir les flots locaux d'une structure de semi-groupe. Si le flot global est toujours défini sur R, les solutions intégrales maximales partageant une portion de domaine de définition, forment une structure de groupe, image de R par un morphisme de groupes. Cette remarque et utilisée afin de montrer le résultat suivant :

• Lemme 1 : Le flot global d'une équation différentielle autonome existe et est unique, il est défini sur un ouvert, continue, dérivable par rapport à la première variable et localement lipschitzien par rapport à la deuxième.

Une fois ce résultat établi, il est simple de le généraliser :

• Théorème : Le flot global d'une équation différentielle à paramètre existe et est unique. Il est défini sur un ouvert. Si le champ de vecteurs f est de classe C^p le flot global l'est aussi^[14].

Détails de la démonstration

• Le flot global d'une équation différentielle autonome est de classe C et défini sur un ouvert :

On suppose évidemment que f est de classe C^p. Soit (t, x) un point du domaine de définition de α, avec t positif. L'objectif est de montrer l'existence d'un ouvert contenant (t, x), inclus dans le domaine de définition du flot et tel que α soit de classe C^p sur cet ouvert. Un raisonnement analogue montre que si t est négatif, un ouvert de même nature existe, ce qui permet de conclure.

Par définition, x est une image par une courbe intégrale maximale, soit t_M la borne supérieure de son intervalle de définition (qui peut être infinie) et x₀ l'image par cette courbe intégrale de la valeur 0. On définit une propriété P pour les réels de l'intervalle [0, t_M[, la propriété P est vérifiée pour la valeur t, s'il existe un voisinage V_t de x₀ et un intervalle ouvert I_t contenant [0, t] tel que le produit I_txV_t soit contenu dans le domaine de définition du flot et que α soit de classe C^p sur ce produit. L'analyse locale montre que 0 vérifie cette propriété. Soit t_P, la borne supérieure des réels de l'intervalle [0, t_M[, vérifiant la propriété P. La démonstration consiste à prouver que t_P est égal à t_M. Si tel est le cas, comme t est strictement plus petit que t_M (le domaine de définition d'une courbe intégrale maximale est un ouvert) il est strictement plus petit que t_P et le point (t, x) est élément d'un ouvert I_txV_t inclus dans le domaine de définition du flot, et tel que α soit de classe C^p sur cet ouvert. L'application β est, d'après un résultat précédent, de classe C^p.

Supposons que t_P soit strictement plus petit que t_M. Sur la figure de droite, la ligne grise contenant x₀ et x_P (défini comme étant égal à α(t_P, x₀)) est la courbe intégrale de condition de Cauchy (0, x₀). Le résultat précédent montre l'existence d'un flot local β définie au voisinage de (0, x_P). Ce voisinage contient un produit cartésien JxW, où J est l'intervalle ouvert ]-b, b[ défini dans le paragraphe sur le flot local et W un ouvert contenant x_P, par exemple la boule fermée de centre x_P et de rayon a. L'image cet ouvert par β est illustrée en orange sur la figure de droite.

L'objectif est maintenant de raccorder ce flot local avec un voisinage de (0, x₀). Soit μ, un réel strictement positif, strictement plus petit que b et que t_P, tel que β(-μ, x_P) soit dans W. Un tel μ existe car le flot local β est continu. Par définition de t_P, le couple (t_P - μ, x₀) est dans le domaine de définition où α est de classe C^p (en rouge sur la figure). Soit V l'image réciproque de W par l'application, qui à x associe α(t_P - μ, x), restreint au domaine de définition où elle est de classe C^p. V est un ouvert car image réciproque d'un ouvert par une application continue. Cet ouvert contient x₀, car μ a été choisi de telle manière à ce que α(t_P - μ, x₀) = β(-μ, x_P) soit dans W. L'unicité du flot sur JxW montre que :

Comme β est de classe C^p, il est possible de prolonger α sur l'ouvert [0, t_P + b - μ[xW (en gris bleu sur la figure) de telle manière à ce que la restriction de α à ce nouveau domaine soit toujours de classe C^p. La valeur t_P ne peut pas être la borne supérieure des réels vérifiant la propriété P, car la valeur t_P + b - μ vérifie cette propriété. Cette contradiction montre que t_P est égal à t_M et que le point (t, x) est inclus dans un ouvert support d'un flot local de classe C^p. On en déduit que tout point du domaine de définition de α est contenu dans un ouvert α soit défini et de classe C^p sur cet ouvert, ce qui termine la démonstration.

• Si l'équation est non nécessairement autonome et à paramètre, le flot global est de classe C^p, si f l'est :

Un paragraphe précédent montre qu'une équation différentielle à paramètre se ramène toujours à une équation différentielle autonome. Le résultat précédent permet de conclure.

Comportement asymptotique

Comportement à la limite du domaine

L'équation différentielle x' = -x² n'admet pas de solution sur R tout entier si l'image de 0 n'est pas nulle.

Pour une valeur de x prise dans E, la courbe intégrale maximale t → α_t0(t, x) est parfois définie sur R, mais pas toujours. Deux obstacles peuvent se présenter. Un premier cas est celui où la courbe atteint les limites de l'ouvert Ω. Si tel n'est pas le cas, il n'existe qu'un seul obstacle possible : la courbe n'est pas bornée^[15].

• Soit b la borne supérieure du domaine de définition de la courbe intégrale maximale s vérifiant la condition de Cauchy s(t₀) = x₀, si b est fini et si f est bornée sur le graphe de s au voisinage de b, alors l'ensemble B suivant est d'intersection vide avec Ω^[16] .

En effet, si f est bornée sur le graphe de s au voisinage de b, alors la solution s admet une dérivée bornée et est uniformément continue sur ce voisinage, ce qui montre que s est uniformément continue sur [t₀, b[ et il est donc possible de la prolonger par continuité sur b. Si (b, s(b)) était élément de Ω, le théorème de Cauchy-Lipschitz montrerait que la solution s se prolonge aussi sur un voisinage de b dans R, autrement dit que b n'est pas la borne supérieure de la courbe intégrale maximale. Par hypothèse b est cette borne supérieure, cette contradiction permet d'en déduire que les valeurs d'adhérences de l'ensemble B ne sont pas dans Ω et termine la démonstration.

Un exemple est donné^[17] par l'équation x' = -x². La solution s'écrit :

Pour les images de 0 par une courbe intégrale différentes de 0, il n'est pas possible de prolonger les courbes au-delà de -1/x.

Ensemble ω-limite

Le système dynamique de Lorenz montre un exemple où les ensembles ω-limites sont en général de structure complexe.

On suppose ici que l'équation différentielle étudiée est autonome. Une méthode pour étudier le comportement asymptotique est d'analyser l'ensemble ω-limite d'une orbite. Cet ensemble possède toujours les propriétés suivantes :

• Soit x un élément de Ω, l'ensemble ω-limite ω(x) est un fermé invariant par le flot.

En particulier, si y est un point de la trajectoire passant par x, alors ω(x) = ω(y). Si l'orbite ne x n'est pas à valeurs dans un ensemble borné, la proposition peut s'avérer moins forte qu'il n'y parait : l'ensemble ω(x) peut être vide. Tel est le cas si la courbe intégrale s ayant pour condition de Cauchy s(0) = x est définie par s(t) = v.t où v est un vecteur non nul de E. Si l'orbite est compact. On dispose alors des propriétés suivantes :

• Avec les notations précédentes, si la trajectoire de x est à valeurs dans un compact K, ω(x) est un connexe compact non vide^[18].

La trajectoire peut néanmoins être complexe, le système dynamique de Lorenz est un exemple exhibant des ensembles ω-limites compacts dont la dimension de Hausdorff n'est pas égale à 1.

Démonstrations

Par définition l'ensemble ω(x) est une intersection de fermés, il est donc fermé. Dans la suite des démonstrations, le flot associé à l'équation différentielle est noté α(t, x).

• Si t est un nombre réel, alors ω(x) = ω(α(t, x)) :

Cette proposition est simple à démontrer, il suffit de comparer les définitions des deux ensembles :

• ω(x) est invariant par l'action du flot α(t, x) :

Cette propriété est encore intuitive, soit y un élément de ω(x), il existe une suite réelle croissante (t_n), de limite plus l'infini, tel que la suite (α(t_n, x)) admette pour limite y. Le flot α de RxK dans K est une fonction continue, donc la suite (α(t, (α(t_n, x))) admet pour limite α(t, y). La structure du groupe du flot montre que la suite s'écrit encore (α(t + t_n, x)) et la suite (t + t_n) est bien une suite croissante de limite plus l'infini.

• ω(x) est un compact non vide :

Montrons dans un premier temps que ω(x) est non vide. Soit on considère la suite (α(t_n, x)), c'est une suite à valeurs dans le compact K. Le théorème de Bolzano-Weierstrass indique que l'on peut en extraire une suite (α(t_φ(n), x)) convergente. Sa limite est par définition dans ω(x).

L'ensemble ω(x) est défini comme une intersection de fermés, c'est un fermé. Il prend ses valeurs dans le compact K, il est donc borné. Dans le plan, tout fermé borné est compact.

• ω(x) est un connexe :

Cette proposition n'est pas nécessairement vraie si ω(x) n'est pas compact. La raison est illustrée sur la figure de droite. Si la trajectoire est une spirale aplatie, dont les côtés s'éloignent à l'infini, l'ensemble ω-limite se réduit à deux droites, illustrés en rouge. Il n'est donc pas connexe.

On suppose ici que ω(x) est non connexe. On va montrer qu'il ne peut être compact. Par contraposé, on obtient la démonstration. On note E_n l'adhérence de l'image de l'intervalle d'extrémités n et l'infini, par la courbe intégrale. Par définition, l'intersection des E_n est égal à ω(x) et les E_n forment une suite de fermés emboités. Par hypothèse, ω(x) n'est pas connexe et il existe deux ouverts disjoints et non vides dont l'union est égale à ω(x). Soit O l'union de ces deux ouverts. Le complémentaire de O dans E_n, noté F_n est un fermé non vide car E_n est connexe (il est défini comme l'adhérence d'un connexe). La suite F_n est une suite de fermés emboités dont l'intersection est vide alors qu'aucun d'eux ne l'est. Aucun compact ne peut contenir une telle suite, ce qui termine la démonstration.

Théorème de Poincaré-Bendixson

Il existe un cas où le flot dispose d'un comportement asymptotique relativement simple, il se produit si l'équation différentielle associée est autonome, si l'espace E est le plan et si la courbe intégrale considérée est compact. On dispose alors du théorème suivant, si α est le flot et x un point de Ω.

• Dans le cadre des hypothèses du paragraphe, la fonction qui à t associe α(t, x) est une fonction définie sur R. Si cette fonction n'est pas convergente, l'ensemble ω-limite est l'image d'une orbite cyclique^[19].

Ce théorème se généralise mal. Si E est de dimension supérieure à deux, le système dynamique de Lorenz montre que le résultat du théorème n'est plus généralement vrai.

Analyse locale

Théorème du redressement d'un flot

Annexes

Bibliographie

• Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] 
  Ce livre se limite au cas où E est un espace vectoriel de dimension finie. Il traite presque de l'intégralité des informations de l'article sur la sensibilité à la condition initiale, à l'exception du caractère C^p du flot local.

• S. Lang, Analyse Réelle, InterEditions, Paris, 1977 (ISBN 978-2-7296-0059-4)
  Ce livre traite de manière relativement complète la question de la sensibilité à la condition initiale. Le cas général du Banach est traité, ainsi que le contenu de toute la partie démonstration de l'article.

• P. Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann, 1972 (ISBN 2-7056-5696-0)
  Cette référence, encore sur la sensibilité à la condition initiale, est plus complète, mais plus ardue que la précédente. L'orientation est définitivement géométrique.

• D. Leborgne, Calcul différentiel et géométrie, Puf, 1982 (ISBN 2-13-037495-6)
  Ce livre suppose déjà connu le théorème dans le cas des Banach et le généralise aux variétés différentielles. Il ne traite pas l'analyse du comportement asymptotique d'un flot.

Notes

Références

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