Extension simple

En mathématiques et plus précisément en algèbre dans le cas de la théorie de Galois, une extension de corps L d'un corps K est dite simple si et seulement s'il existe un élément l de L tel que L est égal à K(l).

Une extension simple est finie si et seulement si l est algébrique. C'est même la définition du caractère algébrique d'un élément.

Le théorème de l'élément primitif montre qu'une extension finie est simple si et seulement si l'extension est séparable.

Motivation

Deux raisons rendent le concept d'extension simple intéressant:

Les extensions simples sont un cas particulier d'extensions de corps qui peut faire l'objet d'une classification complète. Soit le générateur de l'extension est transcendant (c’est-à-dire que l'extension n'est pas finie) et l'extension est isomorphe au corps des fractions rationnelles, soit le générateur est algébrique (c’est-à-dire que l'extension est finie) alors l'extension est isomorphe à un quotient de l'anneau des polynômes à coefficients dans le corps de base par un idéal engendré par un polynôme irréductible.

Le théorème de l'élément primitif donne des conditions suffisantes pour qu'une extension soit simple. Dans le cas où l'extension est finie et séparable, c’est-à-dire engendrée par des éléments ayant des polynômes minimaux sans racines multiples, alors l'extension est toujours simple. Or le cas d'une extension séparable est commun ; par exemple si le corps de base est de caractéristique nulle ou s'il est fini alors l'extension est toujours séparable.

Définition

Soit L une extension de corps de K.

• L'extension L est dite simple si et seulement s'il existe l de L tel que K(l), la sous-K-extension de L engendrée par l, soit égale à L.

• Soit L une extension simple et g un élément de L tel que L soit égal à K(g). Alors g est appelé générateur de L sur K.

Comme démontré dans l'article extension algébrique, il est alors possible d'identifier K et son image dans la clôture algébrique et L avec K(l). Cette identification est réalisée dans toute la suite de l'article.

Exemples

• Le corps des nombres complexes est une extension simple de dimension deux des nombres réels. Il est engendré par l'imaginaire pur i.

La démonstration est donnée dans l'article Extension de Galois.

• Le corps engendré par la racine cubique de deux et l'imaginaire pur i est une extension simple du corps des nombres rationnels.

En effet, une démonstration est donné dans l'article Extension de Galois.

Il est possible de s'en rendre compte par une approche plus directe. Le corps des nombres rationnels est un corps parfait (cf Extension séparable) c’est-à-dire qu'aucun polynôme minimal n'admet de racine multiple. Le théorème de l'élément primitif montre alors que toute extension algébrique finie est simple. L'extension est finie car c'est une extension de deux éléments algébriques.

Il est encore possible de s'en rendre compte par une méthode plus calculatoire. Le corps est en effet l'extension du nombre algébrique r somme de racine cubique de deux et de l'imaginaire pure i. Il suffit de remarquer que r est racine d'un polynôme à coefficients rationnels de degré six. L'article Extension algébrique montre alors que l'extension simple de r est de dimension six avec pour base (1, r, r², ..., r⁵) si l'extension est considérée comme un espace vectoriel sur le corps des nombres rationnels. Il suffit alors de vérifier que i et la racine cubique de deux sont combinaisons linéaires de cette base. Si la méthode est calculatoire, elle permet néanmoins de trouver le résultat sans théorème puissant.

• Le corps des nombres réels n'est pas une extension simple du corps des nombres rationnels.

L'extension contient au moins un nombre transcendant, par exemple π et un nombre algébrique d'ordre deux, par exemple la racine carré de deux.

Plus généralement:

• Toute extension quadratique est simple.

Cette propriété provient de la définition d'une extension quadratique.

• Toute extension finie séparable est une extension simple, et donc toute extension finie sur un corps parfait est simple.

C'est une conséquence directe du théorème de l'élément primitif. En corollaire, on a l'exemple suivant:

• Tout Corps de décomposition séparable est une extension simple.

Il existe des extensions finies qui ne sont pas simples. Par exemple, si L est le corps de fractions rationnelles à deux variables k(X,Y) à coefficients dans un corps k de caractéristique p, et si K est le sous-corps k(X^p,Y^p) de L, alors L/K est une extension finie qui n'est pas simple. En effet, l'extension est de degré p², alors que tout élément de L est de degré au plus p sur K.

Propriétés

Soit Ω une clôture algébrique de K.

• Si l'extension est séparable et finie, alors l'extension est simple et il existe exactement n morphismes de corps de L dans Ω laissant invariant K.
• Si l'extension est simple et s'il existe un générateur séparable, alors l'extension est séparable.
• S'il existe exactement n morphismes de corps de L dans Ω laissant invariant K. Alors l'extension est simple et séparable.

Ce sont trois conséquences immédiates du théorème de l'élément primitif.

• Si l'extension est simple et non finie, alors l'extension est isomorphe au corps des fractions rationnels sur K.

En effet, soit g un générateur de L, il existe une unique manière de prolonger l'application de L dans K(X) le corps des fractions rationnelles qui à g associe X en un morphisme de corps. Il est aisé de vérifier que c'est un isomorphisme.

Supposons l'extension simple et finie, soit alors g un générateur de L et P[X] le polynôme minimal de g à coefficients dans K. Ce polynôme existe d'après le paragraphe Définitions et premières propriétés des extensions algébriques.

• L est alors isomorphe au quotient de l'anneau des polynômes K[X] par l'idéal engendré par P[X], le polynôme minimal d'un générateur.

C'est une conséquence directe de la démonstration de la première proposition du paragraphe Extension algébrique et polynôme.

Voir aussi

Liens externes

• (fr) Une courte présentation des extensions algébriques par Bernard le Stum Université de Rennes 1 2001
• (fr) Un cours de DEA sur la théorie de Galois par Alain Kraus Université de Paris VI 1998
• (fr) Les correspondances de Galois dans les-mathématiques.net

Références

• Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
• Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]

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